Учебное пособие 995

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»

Н.Б.Ускова А.В. Бондарев А.В. Ряжских И.М. Пашуева

РЯДЫ

Утверждено учебно-методическим советом университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2017

УДК 517.9 ББК 22.161

ронежский государственный технический университет», 2017. 85 с.

В пособии рассматриваются основные вопросы теории рядов: числовые ряды, степенные ряды и ряды Фурье.

Издание соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по направлению 11.03.03 «Конструирование и технология электронных средств», профиль «Проектирование и технология радиоэлектронных средств», направлению 12.03.01 «Приборостроение», профиль «Приборостроение», направлению 11.03.01 «Радиотехника», профиль «Радиотехнические средства передачи, приема и обработки сигналов» и специальности 11.05.01 «Радиоэлектронные системы и комплексы», специализация «Радиоэлектронные системы передачи информации», дисциплине «Математика».

Ил. 1. Библиогр.: 7 назв.

Рецензенты: кафедра информатики и методики преподавания математики Воронежского государственного педагогического университета (зав. кафедрой канд. пед. наук, доц.

В.В. Малев); канд. физ.-мат. наук, доц. В.С. Купцов

Ускова Н.Б., Бондарев А.В., Ряжских А.В., Пашуева И.М., 2017

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2017

ВВЕДЕНИЕ

В предлагаемом учебном пособии в кратком виде изложены основы теории рядов.

Учебное пособие состоит из 4 глав, в которых изложены следующие разделы: числовые ряды, функциональные и степенные ряды, ряды Фурье. Наряду с теоретическим материалом, по каждой теме разобраны примеры решения задач. В конце каждой главы даны задачи для самостоятельного решения. В 4 главе приведены задания для типового расчета по теме «Функциональные ряды».

Материал, представленный в учебном пособии, соответствует рабочим программам по направлению 11.03.03 «Конструирование и технология электронных средств», профиль «Проектирование и технология радиоэлектронных средств», направлению 12.03.01 «Приборостроение», профиль «Приборостроение», направлению 11.03.01 «Радиотехника», профиль «Радиотехнические средства передачи, приема и обработки сигналов» и специальности 11.05.01 «Радиоэлектронные системы и комплексы», специализация «Радиоэлектронные системы передачи информации»дисциплине «Математика».

3

1.ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

1.Основные понятия

Числовым рядом называется выражение вида

a1 a2 a3 ... an ... (1.1)

Числа a1,a2,a3,...,an,... называются членами ряда. Обычно ис-

пользуют краткую запись an для обозначения числового ря-

n 1

да.

Сумма n первых членов ряда называется n-й частичной

n

суммой ряда и обозначается Sn . Таким образом, Sn ai .

щимся рядом, а число S – суммой ряда. Ряд называется расходящимся, если не существует конечного предела последовательности частичных сумм Sn .

Пример. Рассмотрим ряд

называемый геометрической прогрессией. Известна формула для нахождения суммы первых n членов геометрической прогрессии (частичной суммы ряда):

4

Следовательно, в этом случае геометрическая прогрессия являя-

ется сходящимся рядом и ее сумма равна 1 .

Следовательно, в этом случае геометрическая прогрессия являяется расходящимся рядом.

n раз

ходится.

Пусть q 1, тогда ряд имеет вид 1 1 1 1 1 .... Его

частичная сумма Sn равна нулю при четных n и 1 при нечетных

n. Следовательно, не существует предела последовательности частичных сумм, и ряд расходится.

1.2. Свойства числовых рядов

Приведем далее некоторые теоремы, касающиеся числовых рядов.

Теорема 1. Если сходится ряд, полученный из данного отбрасыванием конечного числа его членов, то сходится и данный ряд.

Справедливо и обратное утверждение. Если сходится данный ряд, то сходится и ряд, полученный из данного отбрасыванием конечного чила его членов.

5

Доказательство. Рассмотрим ряд an . Пусть Sn – сум-

n 1

n

ма первых n его членов, Sn ai , k – сумма k отбрасыва-

i 1

емых членов (k n) и n k – сумма членов, вошедших в Sn и не вошедших в k . Таким образом, Sn k n k . Особо отметим,

что k есть величина построянная, от n не завясящая. В послед-

нем равенстве перейдем к пределу при n

limSn k lim n k .

n n

Следовательно, если существует limSn , то существует и

n

lim n k и наоборот. Теорема доказана.

n

Теорема 2. Если ряд a1 a2 a3 ... an ... an сходит-

n 1

ся и его сумма равна S, то ряд

ca1 ca2 ca3 ... can ... can ,

n 1

где с – некоторая константа, сходится и его сумма равна cS.

n

Доказательство. Пусть Sn ai – частичная сумма ряда

i 1

an , а n cai – частичная сумма ряда can . Очевидно,

что

n n

n ca1 cna2 ... can cai c ai cS .

i 1 i 1

Поэтому lim n limcSn cS . Теорема доказана.

n n

6

Теорема 3. Если ряды an и bn сходятся и их суммы

n 1 n 1

равны S1 и S2 , то ряды an bn и an bn также схо-

n 1 n 1

дятся и их суммы равны S1 S2 и S1 S2 соответственно.

Доказательство. Докажет утверждение теоремы только

n

n ai bi . Тогда

i 1

n a1 b1 a2 b2 ... an bn a1 a2 ... anb1 b2 ... bn S1n S2n.

Из теоремы 3 следует важное часто используемое правило: сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать.

1.3. Признаки сходимости числовых рядов

Обычно важно знать не сумму ряда, ее в случае сходимости ряда легко можно посчитать численно, а сходится ряд или расходится. Далее будут сформулированы признаки сходимости числовых рядов.

1.3.1. Необходимый признак

Теорема. Если ряд an сходится, то

n 1

Доказательство. По определению, S limSn , но также по

n

определению, S limSn 1 . Вычитая из первого равенства второе,

n

7

Важно помнить, что необходимый признак не используется для определения сходимости ряда. Его используют только

следующим образом. Если liman 0, то ряд расходится.

n

Следовательно, ряд расходится.

1

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд n 1 n2 2 .

Об этом ряде по необходимому признаку ничено нельзя сказать. Далее, используя другой признак (признак сравнения) мы получим, что этот ряд сходится.

Об этом ряде по необходимому признаку ничено нельзя сказать. Из приводимого далее признака сравления следует расходимость этого ряда.

8

Переходим к достаточным признакам сходимости для числовых рядов с положительными членами.

1.3.2. Интегральный признак Коши

Теорема. Пусть общий член ряда an задается равен-

x n, n 1,2,3,..., значения f n , монотонгно убывает в неко-

тором промежутке a x , где a 1, то исходный ряд и не-

собственный интеграл f x dx ведут себя одинаково: или оба

a

сходятся, или оба расходятся.

Доказательство этой теоремы приводить не будем ввиду его громоздкости.

Пример. Рассмотрим несобственный интеграл x1 dx.

1

Известно, что при a 1 интеграл сходится, а при a 1 – расхо-

1

дится. Следовательно, числовой ряд n 1 n сходится при a 1 и

1

расходится при a 1. В частности, гармонический ряд

n 1 n

расходится.

1.3.3. Признак сравнения

Рассмотрим два числовых ряда с положительными члена-

ми: an , его обозначим ряд (А), и bn , его обозначим ряд

(В).

Из признака сравнения для несобственных интегралов и интегрального признака Коши вытекают следующие теоремы.

Теорема. Пусть 0 an bn для всех достаточно больших n.

9