Учебное пособие 995

4

nx

1

4

nx

4

4 4

nx

4

2

b

xsin

dx

x

cos

sin

4

4

4

n

2

n

4

n n

0

0

0

8

cos n

8

1 n 1.

n

n

x

2 x

3 x

8

nx

8

sin

sin

sin

f x

1

n 1

4

4

4

sin

...

n 1 n

3

4

1

2

функцию

f1 x

с периодом T 2 b a, совпадающую с

функцией

f x

на отрезке a;b .

λ-2μ

0

λ a

b λ+2μ

λ+4μ x

Рассмотрим частный случай. Пусть непериодическую

функцию f x требуется

разложить в ряд Фурье на отрезке

периодом T 2l . Разложив в ряд Фурье на

отрезке l;l по-

лученную периодическую функцию f1 x ,

получим искомый

ряд для функции f x на отрезке 0;l .

В частности, функцию f x

можно доопределить на от-

резке l;0 четным образом, т.е.

чтобы при l x 0 было

f x f x . В этом случае функция f x

разлагается в ряд

Фурье, содержащий только косинусы.

Если же функцию f x продолжить на отрезке l;0 не-

четным образом, т.е. чтобы при l x 0

было f x f x .

В этом случае функция f x

разлагается в ряд Фурье, состоя-

щий только из синусов.

Пример. Разложить в

ряд по

косинусам функцию

a0

e

inx

e

inx

e

inx

e

inx

an

ibn

2

2

2

n 1

a0

an

ibn einx

an ibn e inx

2

2

2

n 1

a0

cneinx c ne inx ,

(3.22)

2

n 1

где обозначено c

n

an ibn

,

c

an ibn

.

2

n

2

Найдем выражения для комплексных коэффициентов cn и

c n . Используя выражения для an и bn, получим:

1

1

1

cn

2

f x cosnxdx i f x sinnxdx

1

1

f

x cosnx

isinnx dx

f x e

inx

dx, (3.23)

2

2

a

1

c0

f x dx,

(3.24)

0

2

2

1

1

1

c n

2

f x cosnxdx i f x sinnxdx

1

1

f

x cosnx isinnx dx

f x e

inx

dx. (3.25)

2

2

Таким образом, формулу (3.22) можно записать в виде:

f x cneinx .

(3.26)

n

1

cb

f x e

inx

dx,

n 0, 1, 2,... .

(3.27)

2

Равенство (3.26) называется комплексной формой ряда

Фурье функции

f x . Числа cn , найденные по формуле (3.27),

называются комплексными коэффициентами ряда Фурье.

Если функция

f x

задается на отрезке l;l ,

то ком-

плексная форма ее ряда Фурье имеет вид:

im x

f x cne

,

(3.28)

l

n

1

l

in x

cn

f x e

dx

n 0, 1, 2,... .

(3.29)

l

2l

плитудами гармоник, а числа n

n

n 0, 1, 2,... – волно-

l

0,

x 1;0 ,

T 2.

f x

1,

x 0;1 ,

1

1

e i nx

1

1

e

1

cn

e

i nx

dx

i n

2

2 ni

2 ni

0

1 n

0

1

i

1

1

1

cos n isin n 1

i , n 0;

c0

dx

.

2 n

2 n

2

2

0

1

1 n 1

1

i x

e

i x

e

3i x

e

3i x

f x

i

n

ei nx

i

e

...

2 n

2

3

3

2

n 0

В точках разрыва функции

f x

сумма ряда Фурье равна:

S 0

0 1

1

,

S 1

1 1

1.

2

2

2

3.7. Интеграл Фурье

Пусть

функция

f x

удовлетворяет

на отрезке

l;l

1

l

an

f t cos ntdt, n 0,1,2,... ,

(3.31)

l

l

1

l

bn

f t sin ntdt , n 0,1,2,... .

(3.32)

l

Говорят, что функция f x

абсолютно интегрируема на всей

числовой оси.

Подставляя в ряд (3.30) выражения для коэффициентов an

и bn из формул (3.31) и (3.32), получим:

1

l

1

l

f x

f t dt

f t cos nt cos nx sin nt sin nx dt

2l

l

l

n 1 l

1

l

1

l

f t dt

f t cos n t x dt.

(3.33)

2l

l

l

n 1

l

1

l

1

l

1

M

f t dt

f t

dt

f t

dt

0.

2l

2l

2l

2l

l

l

Рассмотрим второе слагаемое в равенстве (3.33). Величина

n

n

принимает значения

,

2

,

3

, …, об-

l

1

l

2

l

3

l

стью n

n

n 1 n . При этом n 0

при l .

l

56

1

f x

f t cos t x dt

d

0

1

f t cos t cos x sin t sin x dt d

0

1

1

f t cos tdt cos x f t sin tdt sin x

d ,

0

f x A cos x B sin x d ,

(3.35)

0

где

1

A

f t cos tdt ,

1

B

f t sin tdt .

разложение функции

f x

на гармоники с непрерывно меняю-

щейся от 0 до ∞ частотой ω.

Если функция

f x

– четная, то интеграл Фурье (3.35)

принимает вид:

58

2

f x A cos xd , где A

f t cos tdt . (3.36)

0

f x – нечетная, то

0

Если функция

2

f x B sin xd , где B

f t sin tdt . (3.37)

0

0

Если функция

f x задана лишь на

промежутке 0; ,

F

2

f t cos tdt,

(3.38)

тогда

0

2

f x

F

cos xd .

(3.39)

0

Функция F называется

косинус-преобразованием

Фурье для функции f x .

В случае нечетной функции

f x :

2

f

t sin tdt ,

(3.40)

тогда

0

2

f x

sin xd .

(3.41)

0

59