Учебное пособие 995

Функция называется синус-преобразованием Фурье

для функции f x .

60

3.9. Интеграл Фурье в комплексной форме

В интеграле Фурье (3.34) в скобкахстоит четная функция от ω, следовательно, она определена и при отрицательных значениях ω. Следовательно, формулу (3.34) можно переписать так:

Далее рассмотрим следующее выражение:

Выражение, стоящее слева, тождественно равно нулю потому, что функция от ω, стоящая в скобках, есть нечетная функция, а интеграл от нечетной функции в пределах, симметричных относительно нуля, равен нулю.

Правая часть в формуле (3.44) называвется интегралом Фурье в комплексной форме для функции f x .

Перепишем формулу (3.44) в следующем виде:

или

61

Здесь ω называется волновым числом, оно принимает все значения от –∞ до +∞. Спектр волновых чисел называется не-

прерывным спектром. Функцию C называют спектральной

плотностью или спектральной функцией.

Равенства (3.45) и (3.46) можно переписать в симметричной форме:

f x , определяемая формулой (3.48), называеся обратным пре-

образованием Фурье для функции F .

Преобразование Фурье (3.47) связано с косинус- и синуспреобразованиями Фурье (3.38) и (3.40) формулой:

F F i .

3.10. Ряд Фурье по ортогоналной системе функций

Бесконечная система функций 1 x , 2 x ,..., n x ,... на-

зывается ортогональной на отрезке a,b , если при любых n k

62

выполняеся равенство

b

l;l .

Пусть функция f x , определенная на отрезке a;b , та-

кова, что она разагается в ряд по функциям ортогональной системы (3.49), который сходится кданной функции на отрезке

a;b :

Найдем коэффициенты cn . Умножим обе части равенства

(3.50) на k x и проинтегрируем в пределах от a до b. Учиты-

вая равенства (3.49), получим

f x k x dx ck k2 x dx,

откуда

63

b

ортогонаьных функций k x . Ряд (3.50) называется рядом Фурье по системе функций k x .

В приложениях широко используются системы ортого-

нальных многочленов Лежандра, которые определяются так:

Они удовлетворяют дифференциальному уравнению

x2 1 y 2xy n n 1 y 0.

Используются и другие системы ортогональных многочленов.

Задачи для самостоятельного решения

Задача № 1. Разложить в ряд Фурье периодическую с пе-

64

Задача № 3. Разложить в ряд Фурье функцию f x , заданную в интервале 0; , продолжив ее четным и нечетным образом.

1.f x x2

2.f x ex

3.f x x 2 2

4.f x x 1 2

5.f x sh x . 5

65

4. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ «ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ»

Задача 1.

Периодический сигнал f(t) разложить в тригонометрический ряд Фурье. Вычертить графики сигнала f(t) и частичных сумм S1(t), S2(t) ряда Фурье.

1.1.f(t) = | t | – 1 на [-2; 2], f(t + 4) = f(t).

1.2.f(t) = 2 + | t | на [-2; 2], f(t + 4) = f(t).

1.3.f(t) = | 1 – t2 | на [-1; 1], f(t + 2) = f(t).

1.4.f(t) = 1 – | t | на [-3; 3], f(t + 6) = f(t).

4

1.6f(t) = t2 + t на [-2 ; 2], f(t + 4) = f(t).

1.10. f(t) = t2+1 на [-2;2], f(t + 4) = f(t).

66

69