Учебное пособие 995

ряда, абсолютно сходится, т.е. сходится числовой ряд

Тогда ряд (3.1) мажорируем и, следовательно, его можно почленно интегрировать на отрезке ; . Вычислим коэф-

фициенты an и bn. Для этого проинтегрируем обе части равенства (3.2) в пределах от –π до π:

Вычислим каждый интеграл, встречающийся в правой часи:

Приведем формулы, которые понадобятся нам для вычисления остальных коэффициентов тригонометрического ряда.

40

Отсюда

Аналогично, умножив обе части равенства (3.2) на sinmx

и проинтегрировава почленно на отрезке ; , найдем коэф-

фициенты bn:

Коэффициенты, определяемые по формулам (3.4), (3.10), (3.11), назыыаются коэффициентами Фурье функции f x , а

тригонометрический ряд (3.1) с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции f x .

3.2. Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций

Выясним условия, при которых ряд Фурье функции f x

сходится и ео сумма равна значениям данной функции в соответствующих точках. Сформулируем теорему, которая дает достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье.

Теорема Дирихле. Пусть 2π-периодическая функция f x

на отрезке ; удовлетворяе следующим условиям:

1. f x кусочно-непрерывна, т.е. неррерывна или имеет

конечное число точек разрыва первого рода;

2. f x кусочно-монотонна, т.е. монотонна на всем отрез-

ке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом изних функция монотонна.

Тогда соответствующий функции ряд Фурье сходится на этом отрезке при этом:

42

1. В точках нерерывности функции сумма ряда S x сов-

падает с самой функцией: S x f x ;

2. В точках разрыва функции сумма ряда равна среднему

рихле, довольно широк. Поэтому ряды Фурье наши широкое применение в разичных разделах математики и ее приложениях.

Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию f x с перио-

дом 2π, заданную следующим образом:

f x x, x .

Решение. Эта функция кусочно-монотонная и ограниченная. Следовательно, она допускает разложение в ряд Фурье. Найдем коэффициенты ряда:

43

Таким образом, получаем ряд Фурье:

разрыва. В каждой точке разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справа слева, т.е. нулю.

Следовательно, для данной функции ряд Фурье имеет вид:

Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва. В точках разрыва сумма ряда равна нулю.

45

3.3. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

Таким образом, ряд Фурье для четной функции имеет вид:

46

Ряды (3.12) и (3.13) называются неполными тригонометрическими рядами, или рядами по синусам и косинусам соответственно.

Полученные формулы позволяют упрощать вычисления при отыскании коэффициентов Фурье в тех случаях, когда заданная функция является четной или нечетной.

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию f x x,

x ; , T 2 .

В точках разрыва функции сумма ряда Фурье равна:

S 0. 2

3.4. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода

В ряд Фурье можно разлагать и периодические функции с

47

периодом, отличным от 2π. Пусть функция f x , определенная на отрезке l;l , имеет период T 2l (где l – произвольное по-

ложительное число) и удовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле.

резке ; и имеет период T 2 .

Функцию t можно разложить в ряд Фурье на отрезке

; :

Возвращаясь к старой переменной x и заметив, что t x , l

dt dx , получим: l

l

48

l

Ряд (3.14) с коэффициентами, вычисляемыми по формулам (3.15), (3.16) и (3.17), называется рядом Фурье для функции f x с периодом T 2l .

Все теоремы, которые имели место для рядов Фурье 2πпериодических функций, сохраняются и для рядов Фурье функ-

на отрезке l;l четная, то ее ряд Фурье имеет вид: