Учебное пособие 551

lim r

= 0 .

n®¥ n

Бесконечная геометрическая прогрессия

a + aq + aq2 + ... ( a ¹ 0 )

(6)

есть

сходящийся

числовой ряд, если

q

< 1 . Сумма ряда (6)

равна в этом случае

a

S =

.

1- q

В случае

q

³ 1 ряд (6) расходится.

Если ряд (1) имеет сумму S , то ряд

¥

åc ×an = ca1 + ca2 +... + ca +...

(7)

n=1

сходится и имеет сумму c ×S . Если же ряд (1) расходится,

то

(при c ¹ 0 ) расходится и ряд (7).

Сходящиеся ряды

можно

почленно складывать и вычитать,

т.е., если даны сходящиеся ряды

S = a1 + a2 +.. + an +...

(8)

s = b1 + b2 + ... + bn +...,

(9)

то ряды

(a1 + b1 ) + (a2 + b2 ) +... + (an + bn ) +...

(10)

(a1 - b1 ) + (a2 -b2 ) +... + (an - bn ) +...

(11)

тоже

сходятся, и

суммы

их

соответственно

равныS +s

и

¥

1

1

1

1

Пример 1. Члены

ряда å

=1+

+

+... +

+... ,

n

n=1

2

3

n

номеров ( lim

1

= 0 ), однако этот ряд расходится, его lim Sn = ¥ .

n®¥ n

n®¥

¥

1

1

1

1

1

Пример 2.

Члены

ряда å

=

+

+

+ ... +

+ ... тоже

n

n

n=1

2

2 4

8

2

стремятся к

нулю

с ростом

их

номеров(lim

1

= 0) , но

n®¥ 2n

S =

a

=

1

æ

-

1

ö

=1.

1

ç1

÷

2

2

1

- q

è

ø

С помощью необходимого

признака

сходимости нельзя

доказать

сходимость

ряда, но

иногда

удаётся

доказать

расходимость, применяя следствие из необходимого признака,

которое легко доказывается от противного.

Следствие из необходимого признака сходимости:

Если lim an

¹ 0 , то ряд расходится.

n® ¥

¥

n

å

.

n=1

n +1

n

Общий

член

этого

a

=

.ряда

n

n +1

n

lim a

n

= lim

= lim

1

=1 , т.

е.

lim a

¹ 0 .

На

основании

1

n® ¥

n® ¥ n +1

n® ¥

n®¥

n

1 +

n

следствия из необходимого признака заключаем, что данный

ряд расходится.

Пример 4.

Проверить,

выполняется

ли

необходимый

¥

2n

признак сходимости для ряда å

.

n

2

2n

2 n

n=1

+1

lim a

n

= lim

= lim

= 0 .

Необходимый

признак

n®¥

n®¥ n2 +1

n®¥ 1+1 n2

выполняется, поэтому ряд может быть как сходящимся, так и

расходящимся,

что

можно

установить

лишь

по

дополнительного исследования.

Исследование сходимости рядов, как правило, сводится к

вычислению

некоторых

пределов, при

этом

часто

используются известные условия эквивалентности бесконечно

малых, которые

применительно

к

рядам

принимают

вид при

n ® ¥ :

1 ö

1

1

1

tg

1

1

æ

sin

:

,

:

,

ln ç1+

÷

:

,

n

n

n

n

n

è

n ø

arcsin

1

:

1

, arctg

1

:

1

, e

1

-1 :

1

,

n

n

n

n

n

n

ln n

= 0 ( p > 0),

æ

1

ön

n

n

p

lim

lim

ç1

+

÷

= e ,

lim

=1.

p

n

n® ¥ n

n® ¥ è

ø

n® ¥

¥

åan

= a1 + a2 +... + an +...

(an > 0)

,

(1)

n=1

¥

åbn

= b1 + b2 +... + bn + ...

(bn > 0) .

(2)

n=1

Первый признак сравнения. Если для n ³ n0

an £ bn

и ряд (2)

сходится, то сходится также и ряд (1). Если для n ³ n0

an ³ bn и

часто

сравнивают или

с

бесконечной

геометрической

прогрессией

¥

åa ×qn

(a ¹ 0) ,

n=1

которая при

q

< 1 сходится, а при

q

³ 1 расходится,

¥

1

или с рядом Дирихле å

(р -

действительное

число). При

p

n=1

n

1

Замечание 1. Нижним пределом интегрирования может

быть

любое

другое

положительное

число

из

обла

определения функции.

Замечание 2. С помощью интегрального признака легко

доказать, что ряд Дирихле

1

¥

å

p

n=1

n

сходится при р > 1 и расходится при р ≤ 1.

1

¥

Пример 1. Выяснить, сходится или расходится ряд å

.

n=1

n

Данный

ряд

знакоположительный. Сравним

его

с

¥

1

гармоническим рядом

å

,

который расходится. Члены

n=1

n

данного

ряда

больше

соответствующих

членов

гармонического ряда:

1

1

³

(n=1,2,3,…).

n

n

По

первому

признаку

сравнения

из

расходи

¥

1

å

есть

ряд Дирихле приp = 1/2. Так

как р< 1,

то

ряд

n

n=1

расходится.

Пример 2. Выяснить, сходится или расходится ряд

¥

2

n

å

.

n ×3

n

n=1

Данный

ряд

знакоположительный. Сравним

его

с

рядом

¥

æ 2 ön

å

ç

÷ ,

который

является

сходящейся

геометрической

n=1

è

3 ø

прогрессией

с

q =

2

< 1.

По

первому

признаку

сравнения

3

сравним соответствующие члены двух рядов:

2n

<

2n

(n=1,2,...).

n ×3n

3n

Так как члены данного ряда меньше соответствующих членов

¥ æ 2 ön

сходящегося ряда åç

÷ , то данный ряд сходится.

n=1 è

3 ø

Пример 3. Выяснить, сходится или расходится ряд

¥

1

åsin

.

n=1

n

Данный

ряд

является

знакоположительным.

Применим

an

sin

1

= a

sin a

1

lim

= lim

n

=

= lim

=1.

n

n® ¥ bn n® ¥

1

a ® 0

a ® ¥

a

n

¥

1

å

.

n

n=1

n

¥

1

Данный ряд перепишем в виде å

. Это - ряд Дирихле при

3

n=1 n 2

¥

1

å

.

2

n=1 n

+

1

Общий член ряда a =

1

= f (n). Записывая в этой формуле

n

n2 +1

1

x вместо п, получаем

функцию

f (x) =

.

Эта

функция

x2 +1

удовлетворяет

условиям интегрального признака: она

принимает

положительные

значения

и

убывает

с

возрастанием x.

Вычислим

+¥

dx

= arctg x

+¥ = lim arctg x - arctg1 =

p

-

p

=

p

.

ò1 x2 +1

1

x®¥

2 4 4

¥

1

Дирихле å

, сходящийся, так как p = 2>1 .

2

n=1

n

¥

n

n

å

.

2

n

n=1

×n!

Общий член рядаa =

nn

.

Заменяя всюдуn на (n+1),

n

2n ×n!

Так как e » 2,718 , значит

e

>1,

откуда, согласно признаку

2

Даламбера, ряд расходится.

Пример 7.

Применяя

признак

Коши, исследовать,

сходится или расходится ряд

¥

æ 3n +1 ön

å

ç

÷ .

n=1

è 2n -1 ø

æ 3n +1 ön

Общий член ряда

an = ç

÷ .

è 2n -1 ø