Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 551

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

470.54 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

f (x) = f (0) +

f '(0)

x +... +

f (n) (0)

+ Rn

(x),

(3)

где

R (x) =

f (n+1)

(q × x)

n+1

< q <1).

(4)

(n +1)!

Формула (3) носит название формулы Маклорена.

Если функция f (х) имеет производные всех порядков на некотором отрезке, содержащем внутри себя точкуа, и выполняется условие

lim Rn (x) = 0	(5)
n®¥

для всех x из указанного отрезка, то функция на этом отрезке является суммой степенного ряда

f (x) = f (a) +

f '(a)

(x - a) +... +

f (n) (a)

(x - a)

+...

(6)

Этот ряд называется рядом Тейлора для данной функции. В

случае а = 0 ряд Тейлора принимает вид

f (x) = f (0) +

f '(0)

x +... +

(n) (0)

+...

(7)

Этот ряд называется рядом Маклорена для данной функции.

Разложение функции в степенной ряд единственно, т.е.,

если

функция

f (x)

разложена

каким-либо

образом

степенной ряд

f (x) = a + a (x - a) +... + a

(x - a)

) +... ,

то a

f (n) (a)

Формально ряд Тейлора можно написать для всякой

функции, которая в

окрестности

точки

имеет

производные

любого

порядка.

Однако

этот

ряд

будет

сходиться к породившей его функции f (x)

только при

тех

значениях х, при которых остаточный член Rn (x)

при

неограниченном возрастании п стремится к нулю.

Для разложения данной функции в ряд Тейлора нужно:

1) Написать ряд Тейлора для данной функции, т.е. вычислить

значения

этой

функции

её

производных x =приa ,

подставить их в общее выражение ряда Тейлора (6);

2) исследовать

остаточный

член Rn

формулы Тейлора для

данной функции и определить те значениях, при которых

полученный ряд сходится к данной функции, т.е. при которых

lim Rn (x) = 0.

n®¥

При

разложении

функций

степенные

ряды час

используются

разложения

ряд

Маклорена

следующи

функций:

ex = å

= 1+

+ ... +

+...

(-¥ < x < +¥)

(8)

n =0

x2n-1

sin x = å(-1 )

= x -

+... (-¥ < x < +¥) (9)

n=1

(2n -1)!

cos x = å(-1)n

=1-

+... (-¥ < x < +¥)

(10)

n=0

(2n)!

ln(1+ x) = å(-1)n-1

= x -

+... (-1 < x £1)

(11)

n=1

(1+ x)a

=1 +

x +

a (a -1)

x2 +... +

a(a -1)...(a - n +1)

+...

(-1 < x <1)

(12)

=1+ x + x2 +... + xn +...

(-1 < x <1)

(13)

1- x

= 1- x + x2 - x3 +... + (-1)n × xn +...

(-1 < x <1)

(14)

1+ x

В скобках указаны промежутки, на которых верны данные

разложения.

Пример 1.

Разложить

ряд

Маклорена

функцию

f (x) = arcsin x, используя разложение функции						1	.
						1- x2
		1
Разложим			в	ряд	Маклорена,	для	чего
	1- x2
						формуле x на
воспользуемся		формулой (12), заменив в этой

x2 и положив a = - 1 . 2

Получим:					1×3		1×3	×5 ×...×(2n -
1		=1+	1	x2 +		x4 +... +			1)	x2n +...
	1- x2							×4 ×6 ×...×2n
		2		2 ×4		2

Этот ряд сходится при x <1. Интегрируя его по промежутку

[0, x] где

0 < x <1,

находим:

1×3

= ò

ç1+

+...÷dx =

1- x

2 ×4

= x +

1×3

1×3 ×5 ×...×(2n -1)

x2 n+1

+ ... +

+ ...

×4

2 ×4 ×6 ×... ×2n

2n +1

Так как ò

= arcsin x ,

то

1- x

arcsin x = x +

× x

1×3 ×5 ×... ×(2n -1)

x2n+1

+... +

+...

2 ×4 ×6 ×

...×2n

2n +1

Полученный ряд сходится при

<1 .

2.4. Приложения степенных рядов

Ряды широко используются в приближённых вычислениях.

С помощью рядов с заданной точностью можно вычислить значения корней, тригонометрических функций, логарифмов чисел, определённых интегралов. Ряды применяются также при интегрировании дифференциальных уравнений.

Интегрирование многих дифференциальных уравнений не приводится к квадратурам, а их решения не выражаются в

элементарных

функциях.

Решения

некоторых

из

этих

уравнений

могут

быть

представлены

виде

степенных

рядов, сходящихся

определённых интервалах. Ряд,

являющийся решением дифференциального уравнения, можно

найти или способом неопределённых коэффициентов, или

способом,

основанным

на

применении

ряда

Тейлор

(Маклорена). Способ

неопределённых

коэффициентов

особенно удобен в применении к линейным уравнениям.

1 4

Пример 1. Вычислить интеграл ò e- x2 dx с точностью 10-4 .

Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, для

этого в основное разложение (8),

подставим

-x2

вместо x :

e-x2

=1-

-... + (-1)n

x2 n

+...

(-¥ < x < +¥).

Этот ряд можно интегрировать в любых конечных пределах, т.е.

1 4

1 4 ¥

(-1)

n 1 4

ò e-x2 dx = ò å(-1)n

dx =

ò x 2ndx =

0 n=0

n=0

(-1)

2n +1

1 4 ö

(-1)

2 n+1 .

= å

×ç

= å

n=0

n! è

2n +1

ø n=0

n!×(2n +1) ×4

Полученный

числовой

ряд

есть

знакочередующий,

удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница,

поэтому если

мы возьмём для вычислений несколько первых членов ряда, то ошибка, которая при этом будет сдела, нае превзойдёт абсолютной величины первого из отброшенных членов. Замечаем, что третий член ряда


1			=	1	< 10	-4
						.
	2!×5 ×45			10240
Следовательно, чтобы		вычислить			интеграл с точностью

до 10- 4, достаточно взять всего два члена ряда. С требуемой точностью

1 4	1			1			1			1
ò e-x2 dx »		-				=		-			» 0, 2448.
	4		1!×3×4		3				192
0						4

Пример 2. Найти первые пять членов разложения в ряд решения уравнения y ' = x2 + y2 , удовлетворяющего условию y = 1 при x=0.

Искомое решение запишем в виде ряда Маклорена:

y( x) = y(0) +

y '(0)

x +

y ''(0)

y '''(0)

+... +

y(n) (0)

+...

Найдём выражения для

трёх

производных,

дифференцируя

исходное уравнение:

y '' = 2x + 2 yy ',

y ''' = 2 + 2

×( y ')2 + 2 yy '',

y(4)

= 6 y ' y ''+ 2 yy '''.

Вычислим значения этих производных приx = 0, принимая во

внимание y(0) =		1		и данное уравнение y ' = x2 + y2 , откуда

2
y '(0) = 0 +			æ 1		ö	2			1		;		y ''(0)			= 2 ×0 + 2 ×		1			1			1	;
			ç		÷	=														×			=
				2					2									2			4			4
			è		ø
y '''(0) = 2 + 2 ×	1			+ 2 ×			1	×		1		=		19	;	y(4) (0) =	1		+			1	+	19		=	11	.

42						2			4				8			4					8			8	4

Подставляя эти значения в ряд Маклорена, получаем:

y( x) =	1	+	1	x +	1	x2 +	19	x3 +	11	x4 +...

2		4		8		48		96

3. РЯДЫ ФУРЬЕ

Рядом Фурье функции f (x) на интервале (-l, l) называется ряд вида

np x

f (x) :

+ å(an cos

+ bn

(1)

где

n =1

f (x) cos

np x

dx, (n = 0,1, 2, 3,...),

(2)

l -òl

f (x) sin

np x

dx, (n =1, 2, 3,...).

(3)

l -òl

Знак ~ означает,

что функции f (x) ставится в

соответствие

тригонометрический ряд по данной формуле.

В случае, когда

l = p , то

есть

f (x) задана

на интервале

(-p,p ) , ряд Фурье функции

f (x)

записывается в виде

f (x) :

где

1 p an = p -òp

1 p bn = p -òp

a0	¥
	+ å(an cos nx +bn sin nx),	(4)
2
	n =1
f (x) cos nxdx, (n = 0,1, 2,3,...),		(5)
f (x)sin nxdx, (n =1, 2,3,...).		(6)

В частности, если функция f (x) чётная на (-l, l) , то все коэффициенты bn равны нулю, так как в формуле (3) интеграл

берётся от нечётной функции по симметричному относительно нуля интервалу. В формуле (2) в этом случае интеграл берётся от чётной функции по симметричному относительно нуля интервалу, поэтому этот интеграл равен удвоенному интегралу

от той же функции по интервалу (0;l).

Итак, в случае чётной функции f (x) на интервале (-l, l) имеем

np x

f (x) :

+ åan cos

(7)

где

n=1

f (x) cos

np x

dx, (n = 0,1, 2,3,...).

(8)

ò0

Аналогично,

если

функция f (x) является

нечётной

на

интервале (-l, l) , то получаем

np x

f (x) : åbn

sin

(9)

где

n=1

f (x) sin

np z

dx, (n =1, 2,3,...).

(10)

l ò0

Точка x0 Î(-l,l)

называется регулярной точкой функцииf (x),

определённой на интервале (-l, l) , если существуют конечные

пределы

lim f (x) = f (x0 + 0),

lim f (x) = f (x0 - 0)

(11)

x®x0 +

x®x0 -

f (x ) =

( f (x

+ 0) + f (x -0)).

(12)

Заметим, что все точки непрерывности функцииf (x) являются её регулярными точками.

Функция называется кусочно-гладкой на интервале (-l, l) , если

1)множество М точек разрыва функции f(x) на (-l, l) конечно, и каждая точка x0 Î M есть точка разрыва первого рода,

2)функция f (x) дифференцируема во всех точках интервала

(-l, l) за исключением конечного числа точек M1 (M Î M1 ), 3) для каждой точки x0 Î M1 существуют пределы

lim

f (x0 + h) - f (x0 + 0)

lim

f (x0 - 0) - f (x0 - h)

h®0+

Чтобы ряд Фурье (1) функции

f (x)

на интервале(-l, l)

сходился к функции f (x), заданная функция

f (x) на (-l, l)

должна

удовлетворять

определённым

ус

Сформулируем теорему разложения.

Если функция f (x) является кусочно-гладкой на интервале

(-l, l) , то для любой регулярной точки x0 Î(-l, l)

ряд Фурье

(1) функции f (x) в точке x0 сходится к

f (x0 ):

¥ æ

np x

f (x0 )=

+ åçan

cos

+ bn sin

÷ .

n=1 è

Пример 1. Найти разложение в ряд Фурье функции f (x)

на интервале (-p;p ) (Рис.1).

ì-2, если -p < x < 0, f (x )= í

î3, если 0 £ x < p.

Рис. 1.

Заданная функция f (x) удовлетворяет условиям теоремы

о разложимости в ряд Фурье, так как на интервале(-p;p )

функция имеет одну точку разрыва первого рода (при x = 0 ), а

во всех других точках этого интервала она дифференцируема. Следовательно, для данной функции справедливо равенство

	¥
f (x0	)=	a0	+ å(an

		2 n=1

Чтобы найти коэффициент a0 , n = 0 .

a	=		1		p	f	(	x dx =	1 æ
					ò					ç
0			p					)	p
					-p					è

=		1		([-2x]0-p + [3x p0])
	p

cos nx + bn sin nx )

применяем формулу (5) при

0	p	ö
ò -2dx + ò3dx ÷			=
-p	0	ø

= p1 (-2p + 3p ) =1 .

Теперь

находим

коэффициенты an (n = 1, 2,3,...)

по формуле

(5).

æ 0

-2 cos nxdx +

3cos nxdx

-2nx ù0

3x ùp ö

÷ = 0 .

ç ò

è-p

û-p

n û

0 ø

Пользуясь формулой (6) определим коэффициенты bn .

1 æ

ò -2sin nxdx + ò3sin nxdx ÷

è -p

1 æé-2cos nxù0

é-3cosnx ùp ö

(

2- 2cos

(

-np

)

-3cos np +3

)

çê

ú ÷

èë

û-p

ë n

û0 ø

(1- cos np ) =

при n нечётном,

2 sin 2

ínp

при n чётном.

î0

Подставив

найденные

коэффициентыап

и bn

формулу (4),

получим следующее разложение в ряд Фурье данной функции

f (x) на заданном интервале (-p;p )
f (x )=	1		10		æ	1		1		1	ö
		+			çsin x +		sin 3x +		sin 5x +		sin 7x +...÷ .
	2			p		3		5		7
					è						ø

Полученное равенство справедливо при любом значении x , исключая точку разрыва х = 0, в которой сумма ряда равна

-2 + 3 = 1 , то есть равна среднему арифметическому значений

2 2

данной функции слева и справа от точки разрыва.

Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию f (x) (Рис. 2) на интервале (-2; 2), где

f(x )= ìí0, если - 2 < x < 0,

îx, если 0 £ x < 2.

Рис. 2.

Для вычисления коэффициентов Фурье применим формулы

(2) и (3), подставив в них

l = 2

и учитывая при этом, что

функция

задана

различными

аналитическими

выражениями

для различных областей изменения переменной х.

1 æ 0

1 é x2 ù

a0 =

ç ò 0dx + òxdx

=1 ,

2 è-2

2 û0

sin

np x

cos

np x

ù2

1 æ 0

np x

an =

ç ò

0 cos

dx + òx cos

dx ÷

êx

ú =

è -2

np x

n p

û0

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022469.24 Кб2Учебное пособие 547.pdf
#
30.04.2022469.32 Кб2Учебное пособие 548.pdf
#
30.04.2022469.87 Кб2Учебное пособие 549.pdf
#
30.04.2022251.14 Кб1Учебное пособие 55.pdf
#
30.04.2022470.53 Кб2Учебное пособие 550.pdf
#
30.04.2022470.54 Кб2Учебное пособие 551.pdf
#
30.04.2022470.8 Кб4Учебное пособие 552.pdf
#
30.04.2022471.37 Кб3Учебное пособие 553.pdf
#
30.04.2022471.87 Кб2Учебное пособие 554.pdf
#
30.04.2022472.01 Кб2Учебное пособие 555.pdf
#
30.04.2022472.13 Кб2Учебное пособие 556.pdf