Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 551

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

470.54 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

n an

æ 3n +1 ön

3n +1

= n ç

;

2n -1

è 2n -1

3n +1

3 +

lim n an

= lim

т®¥

n®¥ 2n -1

n®¥

Так как предел

>1, то, согласно

признаку Коши,

ряд

расходится.

Замечание. Расходимость

этого

ряда можно

доказать

иначе. Ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости:

æ 3n +1 ön

3 +

ön

lim

= lim

= ¥.

2n -1

n®¥ è

n®¥

2 -

n ø

1.3. Знакопеременные ряды

Числовой ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены, называется знакопеременным.

Пусть дан знакопеременный ряд

åan

(1)

n=1

Рассмотрим ряд (2),

составленный из

абсолютных

величин

членов данного ряда:

+... +

+...

(2)

n=1

Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1). Ряд (1) в этом случае называется абсолютно сходящимся.

Если ряд (2) расходится, то из этого не следует, вообще говоря, что и (1) расходится: ряд (1) может оказаться как сходящимся, так и расходящимся. Возможен случай, когда ряд

(1) сходится, а (2) расходится; тогда ряд (1) называется

условно (неабсолютно) сходящимся.

Признак Лейбница для знакопеременных р.ядовЕсли члены знакочередующегося ряда

	¥
	å(-1)n an = a1 - a2 +... + (-1)n × an +...		(an > 0)	(3)
	n=1
1)	монотонно убывают по абсолютной величине:
	an+1 > an (n = 1,2,3,...)
2)	и стремятся к нулю: lim an	= 0, то ряд (3) сходится,
	n®¥
	сумма его S положительна	и не	превосходит	первого
	члена ряда:

0 < S < a1.

Если знакочередующийся ряд начинается с отрицательного члена:

-a1 + a2 - a3 +... ( an > 0 ),

идля этого ряда выполнены условия1) и 2) теоремы Лейбница, то и такой ряд сходится, сумма его S отрицательна

иудовлетворяет неравенству

-a1 < S < 0.

При

замене

суммы

ряда,

удовлетворяющего

признаку Лейбница,

суммой

его

первых

членов(Sn )

абсолютная

величина

ошибки

не

превышает

абсолютного значения первого из отброшенных членов:

rn )

an +1

Знак

ошибки (знак

совпадает

со

знаком

первого из

отброшенных членов. Здесь rn

= S - Sn (см. п. 1.1).

(-1)

n+1

Пример 1. Ряд å

=1-

-... + (-1)n+1

+...,

n=1

называемый рядом Лейбница, сходится по признаку Лейбница. В то же время ряд, составленный из абсолютных величин его членов

=1+

+... +

+...

n=1

расходится

(гармонический

ряд).

Таким

образом, ряд

Лейбница - условно (неабсолютно) сходящийся ряд.

n+1

Пример 2. Ряд å

(-1)

(р > 0)

(4)

n=1

является знакочередующимся. При р > 0 он

удовлетворяет

условиям признака Лейбница:

(n=1,2,3,…),

(n +1) p

n p

lim

= 0

n®¥ n p

и, следовательно, сходится.

Если заменить все члены их

абсолютными величинами,

получим ряд Дирихле:

n=1

который сходится при р > 1 и расходится при р ≤ 1 (см. п. 1.2). Таким образом, ряд (4) при р > 1 сходится абсолютно, а при 0 < р ≤ 1 сходится условно.

sin n

Пример 3. Доказать сходимость ряда å

n=1

Составим ряд

из абсолютных

величин членов данного ряда,

т.е. ряд

sin n

sin1

sin

+ ... +

+...

(5)

n=1

Так как

sin n

£1,

то

каждый член

ряда

(5) не

превышает соответствующего члена ряда

¥	1		1			1			1
å		=			+		+ ... +			+...	(6)
	3		2			3			3
n=1	n	1			1				n
								¥			1
Ряд (6) является рядом				Дирихле,				т. е. рядом вида å				, где
											p
										n=1	n

p = 3. Так как p > 1, то ряд (6) сходится. Согласно первому признаку сравнения, ряд (5) также сходится. Тогда, по теореме об абсолютной сходимости, данный знакопеременный ряд сходится абсолютно.

Пример 4. Сколько членов ряда

¥	1		1		1		1		n
å(-1)n+1		=1-		+		-		+... +	(-1)	+...
	3		3		3		3		3
n=1	n	2		3		4			n

нужно взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до

0,001?

Данный	ряд				является				знакочередующимся,
удовлетворяющим всем условиям признака Лейбница:
	1 >	1	>	1	>	1	> ...;	lim	1	= 0.

	23		33		43			n®¥ n3

Следовательно, данный ряд сходится, притом абсолютно. Чтобы вычислить сумму этого ряда с указанной точностью, необходимо найти такой член, абсолютная величина которого

меньше 0, 001, т.е.	1	< 0, 001 или n3 >1000, иначе говоря,
	n3

n > 10. Следовательно, нужно просуммировать 10 первых членов данного ряда. Так как

a11 = 113 < 0, 001,

то получаем следующую оценку для ошибки:

r10 £ a11 < 0, 001.

Пример 5. Исследовать, сходится или расходится ряд

¥	n+1	æ		1	ö	n
å(-1)
		×ç1	+		÷ .

n=1		è		n ø

Данный ряд знакочередующийся. Абсолютная величина его общего члена

an		æ		1			ön
		= ç1+				÷ .
		= ç1+			n	÷ .
Поскольку		è			n	ø
Поскольку
			æ			1		ön
lim an	= lim		ç1	+				÷	= e,
lim an	= lim		ç1	+			n	÷	= e,
n®¥		n®¥ è					n	ø

т.е. общий член ряда к нулю не стремится, ряд расходится (не выполнен необходимый признак сходимости).

	В заключение темы"Числовые ряды" напомним,					какие
признаки		сходимости	можно		применять	к	рядам
положительными членами, и какие - к знакопеременным
рядам:
		Необходимый признак сходимости

	Ряды с положительными			Знакопеременные ряды
		членами
	Признаки сравнения			Теорема Лейбница
	Признак Даламбера			(знакочередующиеся ряды)
		Признак Коши		Теорема	об абсолютной
	Интегральный признак			сходимости
				(знакопеременные ряды)

2. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

2.1. Сходимость функциональных рядов

Ряд

	¥
	åun (x) = u1 (x) + u2 (x) +... + un (x) +...			(1)
	n=1
называется	функциональным, если	его	члены	являются

функциями от аргументах. При каждом фиксированном

значении	x = x0 ,	функциональный				ряд (1)	становится
числовым рядом
	¥
	åun (x0 ) = u1 (x0 ) + u2 (x0 ) +... + un (x0 ) +...							(2)
	n=1				х0
Если	ряд (2)	сходится,		то	х0	называется		точкой
сходимости ряда (1). Совокупность					всех	точек	сходимости
х функционального			ряда	(1)	называется		его	областью
сходимости, а функция
			n
S (x) = lim Sn (x) = lim			åuk (x) - суммой данного ряда.
	n®¥	n®¥	k =1
			k =1

Функция

rn (x) = S(x) - Sn (x)

называется остатком ряда (1).

Если ряд (2) расходится, то значение х0 называется точкой расходимости ряда.

В простейших случаях для определения области сходимости ряда (1) можно применять к нему известные признаки сходимости числовых рядов, считая х фиксированным.

2.2. Степенные ряды

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

¥¥

åun (x) = åan (x - a)n = a0 + a1 (x - a) +... + an (x - a)n +... , (1)

n=0 n=0

где	an (n = 0,1, 2,...)		- числа,	называемые	коэффициентами
ряда. При		a = 0 ряд принимает вид
		¥
		åan xn	= a0 + a1x + a2 x2 + ... + an xn + ...			(2)
		n=0
	Теорема Абеля:
1)	Если	ряд (2) сходится при x = x0 ¹ 0 ,			то он	абсолютно
сходится		при	любом	значениих,	удовлетворяющем

неравенству x < x0 .

2) Если ряд (2) расходится при x = x1 , то он расходится и при

любом значении х, для которого		x	>	x1	.
Область	сходимости	степенного				(2)ряда есть
симметричный	относительно начала координат					O интервал

(-R, R), называемый интервалом сходимости ряда (2). Число

R(0 £ R < +¥) называется радиусом сходимости ряда (2). Радиус сходимости может быть вычислен по формулам

R = lim		an			(3)
	an+1
n®¥
или		1
R = lim				.	(4)
			an
n®¥ n

Степенной ряд (2) внутри интервала сходимости сходится абсолютно. Вне интервала сходимости ряд (2) расходится. При x = -R или x = R ряд (2) может оказаться расходящимся, сходящимся условно или сходящимся абсолютно.

Степенной ряд (1) сходится абсолютно на интервале

(a - R, a + R).

На всяком отрезке, целиком лежащем внутри интервала

сходимости,	сумма	степенного	ряда	есть	непрерывная
функция.		интегрированияa, b
Если	пределы	интегрированияa, b		лежат	внутри

интервала сходимости степенного ряда, то определённый интеграл от суммы ряда в этих пределах равен сумме таких же интегралов от членов ряда. Интервал сходимости нового ряда остаётся прежним.

Пусть

S (x) = a

+ a x + a

x2 +... + a

+...

степенной

ряд, имеющий интервал сходимости (-R, R) . Тогда ряд

j(x) = a + 2a x2 +... + na

xn-1 +...

сходится

на том

же

интервале,

и его сумма j(x) = S '(x) при

< R.

Простейшим

примером

степенного

ряда

являе

геометрическая

прогрессия 1+ x + x2 +... + xn +...

Этот

ряд

сходится

при

< 1.

Следовательно,

для

данного

ряда

радиус сходимости R = 1, а интервалом сходимости является

интервал (-1, 1 ). Сумма этого ряда равна

S (x) =

1- x

(в соответствии с

формулой S (x) =

a = 1, q = x).

1- q

Поэтому

для

функции

S (x) =

имеем

следующее

разложение в степенной ряд:

1- x

=1+ x + x2 +... + xn +... (

<1) .

(5)

1- x

Пример

Найти

радиус

интервал

сходимос

степенного ряда:

			¥			x	n
			å			x		.
			å					.
Применим формулу (3):				n=1 n!
Применим формулу (3):
		an			1				1	= lim(n +1) = ¥.
lim		an		= lim	1		:		1
lim	a			= lim			:		(n +1)!
n®¥	a			n®¥	n!				(n +1)!	n®¥
		n +1

R = ¥ , значит, ряд сходится при всех х, т. е. в интервале (-¥; +¥) . Заметим для дальнейшего, что из сходимости ряда

вытекает: lim	xn
	= 0 при всех х.

n®¥ n!

Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда

å¥ nn xn .

n=1 n!

Радиус сходимости найдём по признаку Даламбера:

R = lim

nn ×(n +1)!

= lim

n +1

ön

n®¥ n!×(n +1)n+1

n®¥ æ

ç1

×(n +1)

n ø

Таким образом,

ряд сходится

на

интервале -

< x <

Исследуем сходимость ряда на концах интервала:

¥	nn	æ		1	ön
1) На левом конце ряд принимает вид å		×ç	-		÷	, т. е.
	n!			e
n=1		è			ø

является	знакочередующимся. Абсолютная			величина	его
общего	члена	n n	с учётом формулы Стирлинга(см. п.1.1)
		n!en

эквивалентна при			n ® ¥

® 0.

æ n ön

2pn

2p n ×ç

×e

è e ø

По теореме Лейбница, ряд на левом конце интервала сходится.

2) На

правом

конце

интервала

ряд

принимает

; an

n!×e

æ n ö

1 2

n=1

2p ×n

2pn ×ç

×e

è e ø

Это - ряд Дирихле при p =

поэтому данный ряд на правом

конце

своего

интервала

сходимости

расходится. Таким

образом,

область

сходимости

ряда

есть

промежуток

;

÷.

2.3. Ряд Тейлора

Пусть функция f (х) имеет на некотором отрезке непрерывные производные до (n + 1)-го порядка включительно, а точка а находится внутри этого отрезка. Тогда для любого х из этого отрезка имеет место формула Тейлора:

f (x) = f (a) +	f '(a)	(x - a) +... +	f (n) (a)	(x - a)	n	+ Rn	(x), (1)
	1!		n!

где остаточный член Rn (x) может быть записан в виде

Rn (x) = f (n+1) (x) (x - a)n+1 (n +1)!

(форма Лагранжа), причём x лежит между a и Очевидно, число x можно записать также в виде где 0 < q <1.

В случае а = 0 формула Тейлора принимает вид:

(2)

a +q (x - a),

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022469.24 Кб2Учебное пособие 547.pdf
#
30.04.2022469.32 Кб2Учебное пособие 548.pdf
#
30.04.2022469.87 Кб2Учебное пособие 549.pdf
#
30.04.2022251.14 Кб1Учебное пособие 55.pdf
#
30.04.2022470.53 Кб2Учебное пособие 550.pdf
#
30.04.2022470.54 Кб2Учебное пособие 551.pdf
#
30.04.2022470.8 Кб4Учебное пособие 552.pdf
#
30.04.2022471.37 Кб3Учебное пособие 553.pdf
#
30.04.2022471.87 Кб2Учебное пособие 554.pdf
#
30.04.2022472.01 Кб2Учебное пособие 555.pdf
#
30.04.2022472.13 Кб2Учебное пособие 556.pdf