Учебное пособие 551
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ì |
4 |
при n нечётном, |
= |
2 |
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(cos np -1) = íï- |
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n2p 2 |
||||
2 |
2 |
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|||
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n p |
|
ï |
0 |
при n чётном, |
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î |
|
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é |
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cos |
np x |
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sin |
np x |
ù2 |
|||||||||||
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1 æ 0 |
np x |
2 |
np x |
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ö |
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1 |
ê |
|
|
ú |
|||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||
bn |
= |
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ç ò 0sin |
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dx + òx sin |
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dx ÷ |
= |
|
ê-x |
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2 |
+ |
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2 |
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ú = |
|||||
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np |
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n |
2 |
2 |
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||||||||||||||||
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2 |
è -2 |
2 |
0 |
2 |
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ø |
|
2 |
ê |
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p |
ú |
||||||||||
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||||||||||||||
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ê |
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2 |
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4 |
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ú |
||||
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ë |
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û0 |
||||||
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ì |
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2 |
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|
при n нечётном, |
||||||||||
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|
2 |
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|
ï |
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|||||||||||
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|||||||||||||
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|
ï |
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||
|
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= - |
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cos np = ínp |
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|||||||||
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n2p |
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|||||||||||
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|
2 |
|
|
|
ï |
|
|
2 |
|
|
|
при n чётном. |
||||||||||||
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|
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|
|
|
|
ï- |
|
|
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|||||||||||
|
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np |
|
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|
||||||||||||||
|
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|
î |
|
|
|
|
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Подставив найденные коэффициенты в формулу(1), получим
искомое разложение заданной функции |
f (x). |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x )= |
1 |
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4 æ |
|
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p x |
1 |
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3p x |
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1 |
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5p x |
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ö |
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||||||||||||||
|
- |
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ç cos |
|
+ |
|
|
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|
cos |
|
|
+ |
|
|
|
cos |
|
|
|
|
+ |
...÷ |
+ |
|||||||||
2 |
p |
2 |
2 |
3 |
2 |
|
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|
2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
è |
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2 5 |
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ø |
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|||||||||||||||
|
2 |
æ |
|
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|
p x |
|
1 |
|
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2p x |
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1 |
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|
3p x |
|
|
1 |
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4p x |
|
ö |
||||||||||
+ |
|
çsin |
|
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- |
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sin |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
sin |
|
|
|
|
- |
|
sin |
|
|
|
|
+...÷. |
||||||
p |
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
2 |
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4 |
2 |
|||||||||||||||||||||
|
è |
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ø |
||||||||||||||
Пример 3. |
Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = |х| |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(Рис. 3) на интервале (-1;1) . |
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30
Рис. 3.
Эта функция является чётной. Для вычисления коэффициентов Фурье полагаем l= 1 в формуле (8).
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2 |
1 |
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x2 |
|
1 |
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||
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|
|
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||||||
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a = |
1 |
ò |
xdx |
= 2 |
|
2 |
|
|
= 1, |
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||||
|
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|
|
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|||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
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|
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||||
|
1 |
|
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é x sin (np x) |
|
cos (np x)ù |
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|||||||||||
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|||||||||||||
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||||||||||||
an = 2ò x cos (np x)dx = 2 ê |
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+ |
|
ú |
|
= |
||||||
|
|
|
np |
|
|
|
2 2 |
|
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
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|
n p |
û0 |
|
||||
|
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ì |
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4 |
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|
при n нечётном, |
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||||||
= |
2 |
|
(cos np -1) = íï- |
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|||||||||||||
|
n2p 2 |
|
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|||||||||||||||||
2 |
2 |
|
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|||||||||||
|
n p |
|
|
|
|
ï |
|
0 |
|
|
при n чётном, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
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Подставив найденные коэффициенты в формулу(7), получим искомое разложение функции в ряд Фурье.
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1 |
|
4 |
æ |
cos 3p x |
|
cos 5p x |
ö |
|||
x |
= |
|
- |
|
|
çcos p x + |
|
|
+ |
|
|
+...÷ . |
2 |
p |
2 |
3 |
2 |
5 |
2 |
||||||
|
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|
è |
|
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ø |
Полученное равенство справедливо при любом x Î(-1;1). Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию f (x)= х
(Рис. 4) на интервале (-p;p )
31
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Рис. 4. |
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|||||||||||
Так |
как |
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данная |
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|
|
функция |
|
|
является |
, нечётнойто |
|||||||||||
коэффициенты an = 0 . Полагая |
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l = p |
в формуле (6), находим |
|||||||||||||||||||||
коэффициенты bn . |
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|||||
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|
2 p |
|
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2 |
é |
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x cos nx |
|
|
sin nx ùp |
|
||||||||||
bn |
= |
|
|
òx sin nxdx = |
|
|
|
ê- |
|
|
|
|
+ |
|
|
ú = |
|
||||||||||
p |
p |
|
|
n |
|
|
n |
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
û0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ì2 |
|
|
|
при n нечётном, |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= - |
|
cos np = ín |
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
2 |
|
|
|
при n чётном. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ï- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
î n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Следовательно, |
разложение |
|
|
|
|
в |
|
|
|
ряд |
|
Фурье |
данной |
функции |
|||||||||||||
имеет вид |
|
|
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|
|
|
1 |
|
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|
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|
1 |
|
|
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1 |
|
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|||
|
|
|
æ |
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
ö |
|
||||||
x = 2 |
çsin x - |
|
sin 2x + |
|
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|
sin 3x - |
|
|
sin 4x +...÷ . |
|
||||||||||||||||
2 |
3 |
4 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
Функцию f(x), определённую в интервале(0;l ) и обладающую в нём приведёнными в теореме разложения
свойствами, |
можно в |
этом |
интервале представить ка |
формулой (7), так и формулой (9). |
ряд по косинусам функцию |
||
Пример |
5. Разложить |
в |
32
f (x )= |
p |
- |
x |
|
|
на интервале |
(0;p ) . |
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
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|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
Для |
|
4 |
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коэффициентов |
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Фурье |
в |
ряде(7) |
|||||||||||||||||||||
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|
определения |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
применим формулу (8). |
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|||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
2 p æ p |
|
|
x |
ö |
|
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2 ép |
|
|
x2 |
|
ùp |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
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|
a0 = |
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
- |
|
÷dx = |
|
|
|
ê |
|
|
x - |
|
ú = 0 , |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
p |
4 |
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò0 è |
|
|
4 2 |
ø |
|
|
|
ë |
|
|
û0 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
a |
= |
2 |
|
p æ |
p |
|
- |
x |
öcos nxdx = |
|
|
1 |
|
|
p (p - 2x )cos nxdx = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
ç |
|
4 2 |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2p ò0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p ò0 è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
é |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin nx |
|
|
|
2 cos nxdx ùp |
|
1 -cos np |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
ê(p - 2x) |
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ú = |
|
|
= |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2p |
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û0 |
|
|
n p |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin2 |
np |
|
|
ì |
|
2 |
|
|
|
при n нечётном, |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
ín2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
0 |
|
|
|
при n чётном. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Следовательно, получаем следующее разложение |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
p |
|
|
|
x |
|
|
|
p æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 3x |
|
|
|
cos 5x |
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
- |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
ç cos x + |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
...÷. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
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Пример 6. Разложить функцию f (x)= х на интервале (0; 1) в ряд по синусам.
Для определения коэффициентов Фурье в ряде(9) применим формулу (10).
1 |
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é |
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cos (np x) |
|
sin (np x)ù |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
bn = 2ò x sin (np x)dx =2 ê-x × |
|
+ |
|
ú |
|
= |
|||||||
np |
2 2 |
|
|||||||||||
0 |
|
ë |
|
|
|
|
|
n p |
û0 |
|
|||
|
|
ì |
|
2 |
|
|
при n нечётном, |
|
|
|
|||
|
2cos np |
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= - |
|
= ínp |
|
|
|
|
|
|
|||||
np |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ï |
|
2 |
|
при n чётном. |
|
|
|
|||||
|
|
ï- |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
np |
|
|
|
|||||||
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, получаем следующее разложение
33
|
2 |
æ |
1 |
|
1 |
|
1 |
ö |
|
x = |
|
çsin p x - |
|
sin 2p x + |
|
sin 3p x - |
|
sin 4p x +...÷. |
|
p |
2 |
3 |
4 |
||||||
|
è |
|
|
ø |
Всилу одинаковой периодичности тригонометрических
функций, ряд Фурье (1), представляющий функцию f (x) на
(-l;l ) , представляет в каждом отрезке [a;b] É (-l;l ) функцию
f *(x), |
полученную |
|
2l |
периодическим |
продолжением |
||||
функции f (x) с интервала (-l;l ) на всю числовую прямую за |
|||||||||
исключением |
точек |
вида(2m +1)l, m ΢ . |
Значения |
||||||
f *((2m +1)l ), m ΢ |
|
|
выбираются |
произвольно. Если |
|||||
определены значения f |
(l - 0) |
и f (-l + 0)(см. (11)), то обычно |
|||||||
полагают |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
f *((2m +1)l ) = |
( f (l - 0 )+ f (-l + 0)), m ΢ . |
|
||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
f *(x) удовлетворяет |
|
|||
Поэтому, если функция |
условию |
||||||||
(12) в |
точке |
x = l , |
|
то |
ряд (1) |
сходится |
в |
точках |
|
x = (2m +1)l, m ΢ к функции f *((2m +1)l ). |
|
|
4. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
4.1. Написать формулу общего члена ряда:
1) |
1+8 + 27 + 64 +125 +... |
2) |
|
|
1 |
|
+ |
1 |
|
+ |
|
1 |
|
+ |
1 |
+ ... |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1×4 2 ×5 3×6 4 ×7 |
|
|||||||||||||||||
3) |
1+ |
2 |
+ |
4 |
+ |
8 |
+ |
16 |
+... |
4) |
2 |
+ |
4 |
+ |
6 |
+ |
8 |
+ |
10 |
+ ... |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
3 |
5 |
7 |
9 |
|
3 |
5 |
|
7 |
9 |
11 |
|
|
4.2. Написать четыре первых члена ряда по известному общему члену:
34
5) a = |
3n - 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) a = |
1 |
|
|
|
|
|
|
. 7) a = |
2 + (-1 )n |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
n2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3 + (-1 )) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
np ö |
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
ç2 |
+ sin |
|
|
|
|
|
|
|
÷cos np |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
8) a = |
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
9) a |
|
= (-1 ) n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
2n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4.3. |
|
Доказать |
|
|
|
непосредственно |
сходимость |
|
ряда |
и найти |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
его сумму: |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
10) |
1+ |
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
+... |
|
|
|
|
|
|
11) 1- |
+ |
|
- |
|
+... |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
9 |
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
12) |
1+ |
1 |
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
+ |
1 |
+... |
|
13) |
1 |
|
|
|
+ |
1 |
|
|
+ |
|
|
1 |
|
|
|
|
+ ... |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
3 4 |
3 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1×2 2 ×3 3 ×4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14) |
1 |
|
+ |
|
|
1 |
|
|
+ |
1 |
+ ... |
|
15) |
1 |
|
|
|
+ |
|
|
|
1 |
|
|
|
+ |
1 |
|
+ ... |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1×4 2 ×5 3 ×6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1×2 ×3 2 ×3×4 3×4 ×5 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16) |
|
1 |
+ |
2 |
|
|
+ |
3 |
|
+ |
4 |
|
+ ... |
|
17) |
1 |
+ |
2 |
|
+ |
3 |
|
+ |
4 |
|
+ ... |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
94 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
72 |
|
|
|
|
73 |
|
|
74 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
92 |
|
|
|
|
|
93 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18) 1+ 2a + 3a2 + 4a3 +..., |
|
|
a |
|
<1. |
19) å( |
|
|
|
|
n + 2 - 2 |
n +1 + |
n ). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Установить |
расходимость , |
|
|
|
|
|
используяряда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
необходимый признак сходимости: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n + 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
20) |
1-1-1+1+1+1-1-1-1-1+... |
21) å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
¥ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
æ 2n2 +1 ön2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
22) |
ån |
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
23) åç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 è 2n |
|
3 ø |
|
|
|
35
|
æ |
+ |
1 |
ön2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
¥ |
ç1 |
|
÷ |
|
¥ |
n |
n+ |
|
|
|
|
||
n |
|
n |
|
|
|
||||||||
24) å |
è |
|
ø |
. |
25) å |
|
|
|
|
. |
|||
|
e |
n |
|
æ |
|
1 |
ö |
n |
|||||
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||
n 1 |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
ç n + |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
¥ |
1 |
|
¥ |
1 |
|
¥ |
n +1 |
|
|
26) |
å |
. |
27) å |
. |
28) å |
. |
|
|||
|
n |
|
|
|||||||
|
n=1 |
n 0,3 |
n=1 |
n |
n=1 |
3n + 2 |
|
|||
4.5. |
|
Используя |
признаки |
сравнен, |
иясследовать |
на |
сходимость ряд:
¥ |
|
n |
|
|
|
|
29) å |
|
|
. |
|
||
(n + 2) |
2 |
n |
|
|||
n=1 |
|
|
|
|||
¥ |
|
|
1 |
|
|
|
31) å |
|
|
|
|
. |
|
|
(n + 2)(n2 +1) |
|||||
n=1 |
|
¥ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
30) å |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n=1 |
n (n + 2) |
|
|
|||||
¥ |
|
n2 + 3n + 2 |
|
|
||||
32) å |
|
|
|
|
|
|
|
. |
3n |
4 |
+ n |
3 |
+ 2n |
|
|||
n=1 |
|
|
+1 |
|
¥ |
|
|
|
1 |
|
|
|
¥ |
|
|
1 |
|
|
|
¥ |
2 |
|
|
|||||
33) |
å |
|
|
|
. |
34) |
å |
|
|
|
. |
35) |
å |
n |
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||
|
n=1 |
|
1+ 3 |
|
|
|
n=1 |
(1 |
+ 2n) |
|
n=1 |
|
2n |
|
|
|
||||||||
|
¥ |
|
1 |
|
|
|
|
¥ |
|
1 |
|
|
|
|
¥ |
n4 + 3n3 |
||||||||
36) |
å |
|
|
|
|
. |
|
|
37) å |
|
|
|
|
. |
|
|
38) åln |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||
|
n=1 |
ln n |
|
|
n=1 |
(ln n |
) |
|
|
|
n=1 |
n |
|
+1 |
|
|
|
|
¥ |
n -1). |
||
39) |
å( n - |
|||
|
n=1 |
|
|
|
|
¥ |
1 |
|
|
41) |
ån arcsin |
. |
||
3 |
||||
|
n=1 |
n |
4.6. Используя сходимость ряд:
¥ |
1 |
( n +1 - n -1). |
|
|||
40) å |
|
|||||
|
n |
|
||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
¥ |
( |
n +1 - n + 2 )ln |
3n +1 |
|
|
|
42) å |
. |
|
||||
|
|
|||||
n=1 |
|
|
|
3n -1 |
|
|
признак |
|
Даламбера, исследовать |
на |
¥ |
2n -1 |
|
¥ |
1 |
|
¥ |
n! |
|
43) å |
. |
44) å |
|
. 45) å |
. |
|||
n |
(2n +1)! |
n |
||||||
n=1 |
2 |
|
n=1 |
n=1 |
7 |
|
36
¥ |
|
|
n |
( |
n +1 |
|
|
¥ |
|
|
|
|
n |
|
|
¥ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
46) å |
|
|
|
|
|
|
) |
. 47) |
å |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
. 48) å |
|
n |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
n |
|
|
|
|
|
n |
(2n +1) |
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
2 |
|
|
|
n=1 3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
n! |
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||
49) å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
50) |
å |
. |
51) |
å |
3 |
n! |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
(5n - 4)(4n -1) |
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 n |
|
|
n=1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4.7. Используя признак Коши, исследовать на сходимость |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ряд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5 -( |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||
|
æ n +1 ön |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
-1 )) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
52) å |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
53) å |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
. |
|
||||||||||||
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n ×4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
n=1 |
è |
+ 5 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
¥ |
æ |
|
2n +1 ön |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
æ |
|
1 ön |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
54) åçln |
|
|
|
|
|
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
55) å |
çsin |
|
|
÷ . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
n=1 è |
|
|
n + 5 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
è |
|
n ø |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
¥ |
æ |
|
|
|
3 ön3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
56) åçcos |
|
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n=1 è |
|
|
|
n ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4.8. Используя интегральный признак, исследовать на |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сходимость ряд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
¥ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
57) å |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
58) å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n ×ln n ×ln ln n |
|||||||||||||||||||||
n=2 |
|
|
n ×ln |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 |
|
||||||||||||||||||||
¥ |
|
|
e |
- n |
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||
59) å |
|
|
|
. |
60) å |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
61) |
å |
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
(2n -1)2n |
|
|
n=1 |
|
|
|
|
3n - 2 |
|
|||||||||||||||||
4.9. |
|
|
|
|
Применяя |
|
|
|
|
|
|
различные |
|
|
|
|
|
|
признаки |
сходим, |
исследовать сходимость знакоположительных рядов:
|
¥ |
|
1 |
|
|
1 |
|
¥ |
|
|
n |
|
|
|
|
|||
62) |
å |
|
sin |
. |
63) å |
|
|
|
. |
|||||||||
|
2 |
(n +1) |
2 |
|||||||||||||||
|
n=1 |
3 n |
|
n |
n=1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
65) |
åne-n . |
|
|
|
|
66) å |
|
|
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
n |
3 |
|
|
||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
+ 5 |
|
|
|
|
|
||||
|
¥ |
|
2n -1 |
¥ |
|
|
n5 +1 |
|
|
|||||||||
68) |
å |
|
|
|
|
. |
|
69) åln |
|
|
|
|
|
. |
||||
|
(n +1) |
2 |
|
n |
5 |
|
|
|
||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n 1 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
1 |
|
|
64) å |
. |
||
|
|||
n=1 |
n -sin n |
¥ |
|
67) åln5n . |
|
n=1 |
n |
¥arctgn
70)ån=1 10n - n .
37
|
¥ |
(31n -1)sin |
p |
|
|
|
¥ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
3n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
71) å |
. |
72) å |
. |
|
|
|
73) å |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n=1 |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
¥ |
|
|
n +1 |
|
|
|
¥ |
|
|
æ |
|
|
|
1 |
ö |
2 |
|
|
|
|
¥ |
|
|
arcsin 1 |
|
|
||||||||||||||||
74) åln |
|
. 75) å 7 n |
|
|
|
|
. 76) |
|
å |
|
|
|
|
|
|
n |
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
çln cos |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
2n |
+ 5 |
|
|
|
n=2 |
è |
|
|
|
|
n ø |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
n +1 - n |
||||||||||||||||||||
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
77) ån10e- |
n . |
|
78) ån2e- 3 n . |
|
|
79) å |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
¥ |
ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
n |
+ 2 |
|
- n - 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
80) å |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81) å |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
n=2 |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=3 |
|
|
|
3 n2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||
¥ |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|||||
82) å |
(a n |
- 2 + a-n |
), a > 0, a ¹ 1. |
83) å( |
|
n +1 - |
|
|
n ) |
arctg |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||
|
¥ |
cos |
1 |
|
|
|
|
¥ |
|
æ n + 5 ön |
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
84) å |
|
|
n |
. |
85) å |
ç |
|
|
|
|
|
÷ . |
|
|
86) å |
|
|
|
|
arccos |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
è 3n -1 |
ø |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
æ n - 3 ön |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 ×5×8 ×...×(3n -1) |
|
|
||||||||||||||||||||||
¥ |
|
¥ |
æ 2n +1 ö |
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
87) å |
ç |
|
|
÷ . 88) å |
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
. 89) |
å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
n + 3 |
|
2 |
×7 ×12 ×...×( |
5n - 3) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=4 |
è n +1 |
ø |
|
|
|
|
n=1 |
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
¥ |
|
n |
|
|
|
|
||
90) |
å |
|
|
|
. |
|
|||
æ |
|
1 |
ö |
n |
|||||
|
n=1 |
3 + |
|
|
|
||||
|
|
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
92) |
å |
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
n=1 |
n |
ln (n +1) |
|
¥ |
( n +1 - 4 n2 + n + 3 ). |
|||||
91) |
å |
||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
(2nn |
-1)!! . |
¥ |
1 |
|
|
93) |
å |
94) å |
. |
||||
|
|||||||
|
n=1 |
3 |
×n! |
n=1 |
n n |
¥ |
2 |
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
¥ |
|
-1). |
|
||
95) å |
n |
. |
|
96) |
ålog2n (1+ |
1 |
). |
|
97) å(n |
1n3 |
|
||||||
n |
|
n |
|
||||||||||||||
n=1 |
2 |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
n=2 |
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
p |
¥ |
|
|
n +1 |
¥ |
æ |
|
1 |
|
ön |
||||
98) ån sin |
|
|
. |
99) å |
n ln |
|
|
|
. 100) åçcos |
|
|
÷ . |
|||||
3 |
n |
n -1 |
n |
||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
n=2 |
|
|
n=1 |
è |
|
ø |
38
¥ |
|
|
1 |
|
|
|
¥ |
æ |
1 ön |
|
|
|
¥ |
2 |
|
|
n n +1 |
|
|||||
101) å |
|
|
|
. 102) |
åçarcsin |
|
÷ . 103) |
|
å |
|
ln |
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
n - ln n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n=2 |
|
|
|
|
n=1 |
è |
ø |
|
|
|
n=2 |
n n n -1 |
|
||||||||||
|
¥ |
æ |
|
7 ön |
|
|
|
¥ |
æ |
1 |
|
|
|
|
1 ö |
|
|
||||||
104) åçcos |
|
|
÷ . |
|
105) åçln |
|
|
- ln sin |
|
|
|
÷ . |
|
||||||||||
|
|
|
n |
a |
n |
a |
|
||||||||||||||||
|
n=1 |
è |
|
n ø |
|
|
|
n=1 |
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
¥ |
æ |
2n + 3 |
ön |
¥ |
1 |
|
|
|
106) åçln |
|
÷ . |
107) å |
|
|
|
. 108) |
|
n +1 |
n ln |
a |
|
|||||
n=1 |
è |
ø |
n=2 |
|
n |
¥ |
¥ |
109) åe-a2n , a ¹ 0 . |
110) åëén (31n -1)ûù . 111) |
n=1 |
n=1 |
¥ ln n
ån=2 na .
¥ æ ln cos 1 ön
åç n ÷ . n=2 è ln cos 3n ø
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(n! ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
112) å |
|
|
|
. |
|
|
113) å |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
ln n |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||
n=2 |
n ×ln n ×ln |
|
|
|
|
n=1 é(2n +1)!ù 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
û |
|
|
|
|
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||||
4.10. Применяя признак Лейбница, показать, что данный |
|||||||||||||||||||||||
ряд сходится |
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¥ |
|
n-1 |
|
|
|
¥ |
|
|
n-1 |
|
|
|
¥ |
|
|
|
n-1 |
|
|
||||
|
(-1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
(-1 ) |
|
|
|
|
(-1 ) |
|
|
|
||||||
114) å |
|
. 115) |
|
å |
|
|
|
. |
|
116) å |
|
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
(3n + 5) |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
n=1 |
|
2n -1 |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
n=1 |
|
n! |
|
|
|
|
||||||
¥ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(-1 ) n . |
|
|
|
|
|
(-1 |
)ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
117) å |
|
|
|
|
118) å |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n=1 |
|
n + 20 |
|
|
|
|
|
|
n=2 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4.11. |
|
Исследовать |
|
|
ряд |
на |
абсолютную |
и |
условн |
||||||||||||||
сходимость: |
|
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||||
¥ |
|
n+1 |
|
|
|
¥ |
|
|
n |
|
|
|
¥ |
|
n +1 |
3 |
|
|
|
|
|||
119) å |
|
(-1 ) |
. |
|
120) |
å |
(-1 ). |
121) å(-1 ) |
|
|
n . |
|
|
||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
n=1 |
|
n |
|
|
|
n=2 |
ln n |
|
|
|
n=1 |
n + 2 |
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
(- |
1 ) n( -1) |
|
|
|||
122) |
å |
|
. |
|
||||
8 |
|
|
|
|||||
|
n=2 |
|
|
n (n +1) |
|
|||
|
¥ |
|
|
n |
æ 3n +1 ön |
|||
124) |
å |
(-1 ) |
ç |
|
|
÷ . |
||
|
|
|||||||
|
n=0 |
|
|
|
è 4n + 5 |
ø |
¥ |
n+1 |
1 |
|
|
123) å(-1 ) tg |
. |
|||
|
||||
n=1 |
|
n 3 n |
¥ (-1 )n+1
125) å .
n=1 n n
39