Учебное пособие 516

Пример №5. Разложить функцию

f(x) = x, -1 < x < 1 периода Т = 2 в ряд Фурье (рис. 2.2).

Рис. 2.2.

20

Решение. Функция f(x) – нечетная, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, поэтому на основании равенств (2.7) и (2.8) имеем:

2.1.3. Разложение в ряд Фурье непериодических функций на интервалах ( -l, l ), ( 0, l ), ( α, b ).

1. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на интервале ( -l, l ). Кусочно-гладкую непериодическую функцию f(x), заданную на бесконечной оси -∞ < x < ∞, нельзя представить ее рядом Фурье, так как сумма его, будучи суммой гармоник с общим периодом Т, есть функция периодическая с тем же периодом Т, и, следовательно, не может быть равна функции f(x) для всех х. Однако, можно построить представление этой функции в виде

21

соответствующего ряда Фурье на любом конечном промежутке.

Рис. 2.3.

Пусть интересующий нас промежуток есть интервал ( -l , l), симметричный относительно начала координат.

Построим функцию φ(х) периода Т = 2l такую, что

(рис. 2.3)

φ (х) = f (x) при – l < x < l.

Предполагая, что функция φ(х) удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, имеем

- l < x < l

где

22

(n = 0,1,2,…).

В силу того, что заданную функцию f(x) нужно представить рядом Фурье лишь на интервале ( - l, l ),

где f1(x) – произвольная кусочно-гладкая функция, из формул (2.10) и (2.11) получаем бесконечное множество рядов Фурье

f (x) = α20 + ∑∞ (αn cos nπl x +bn sin nπl x ), (2.13)

n=1

( 0 < x < l ),

дающих представление функции f(x) на интервале ( 0, l ). В частности, полагая в (2.12) («четное продолжение»)

f1 (x) = f (−x), (-l < x < 0).

будем иметь

f (x) = α20 + ∑∞ αn cos nπl x , (0 < x < l), (2.14)

n=1

где

(n = 0,1,2,…).

23

Итак, в этом случае получается разложение функций в ряд только по косинусам.

Аналогично, полагая в (2.12) («нечетное продолжение»)

f1 (x) = − f (−x), (-l < x < 0).

получим

(n = 0,1,2,…).

В этом случае получается разложение функции в ряд только по синусам.

Таким образом, если функция задана в интервале ( 0 < x < l ), то, продолжая ее на интервале - l < x < 0, а затем продолжая полученную функцию периодически на всю числовую прямую, мы можем получить бесчисленное множество рядов Фурье. Однако все эти ряды на интервале (0, l) будут представлять одну и туже заданную функцию f(x), а на интервале ( - l, 0 ) каждый ряд будет иметь своей суммой соответствующее продолжение функции f(x) (рис. 2.4).

Рис. 2.4

24

3. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на интервале ( α, b ). Прежде чем рассматривать этот вопрос, сделаем следующее утверждение.

Утверждение. Интеграл от периодической функции f(x) по любому отрезку, длина которого равна периоду T = 2l, имеет всегда одно и то же значение, т.е.

где α – любое вещественное число.

Действительно, основываясь на геометрическом смысле определенного интеграла, справедливость формулы (2.18) легко проиллюстрировать: площади, заштрихованные на рисунке 2.5., равны между собой.

Рис. 2.5.

Замечание. Из данного утверждения следует, что при вычислении коэффициента Фурье, мы можем заменить промежуток интегрирования [ -l, l ], любым промежутком [ α, α + 2l ], длина которого равна T = 2l, то есть положить

Пусть теперь на некотором интервале (α, b) задана непериодическая функция f(x), удовлетворяющая условиям

25

разложимости в ряд Фурье. Введем в рассмотрение вспомогательную периодическую функцию φ(х) с периодом Т = b – α = 2l, совпадающую с функцией f(x) на интервале (α, b)

(рис. 2.6)

Рис. 2.6.

Разложим периодическую функцию φ(х) в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках интервала (α, b) (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функцией f(x), то есть ием самым имеем разложение функции f(x) в ряд Фурье на

(n = 1,2,…).

Замечание. Полагая в формулах (2.21) – (2.23) α = 0 и b = l, можно получить еще одно представление в виде полного ряда Фурье непериодической функции f(x), заданной на интервале (0, l):

26

(n = 1,2,…).

Замечание. Полагая l = π, из формул (2.9) – (2.26) легко получить соответствующие результаты для частного случая непериодических функций, заданных на интервале (-π, π), (0, π) и (α, α+2π).

Пример № 6. Разложить в ряд Фурье функцию f(x), определенную следующим образом

0, при π < x ≤ 2π f (x) =

1, при 2π < x < 3π

Решение. Здесь функция f(x) задана на интервале (α, b) длиной 2π. Периодически продолжим заданную функцию на всю числовую ось, получим периодическую функцию периода

2π (рис. 2.7).

Рис. 2.7.

27

Полагая в формулах (2.22) – (2.23) α = π, b = 3π, l = π, вычислим коэффициент Фурье данной функции: