Учебное пособие 516

Таким образом, ряд Фурье для четной функции содержит только четные функции – косинусы, а записывается так:

f (x) = α0 + ∑∞ αn cos nx, (1.14)

2 n=1

при этом

αn = 2 π∫ f (x) cos nxdx. (1.16)

π0

2.Пусть f(x) – нечетная периодическая функция с

периодом 2π, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье. Тогда рассуждая аналогично, получим

Таким образом, ряд Фурье для нечетной функции содержит только нечетные функции – синусы, и записывается следующим образом:

n=1

10

при этом

Замечание. Отметим, что важным свойством четных и нечетных функций, как показывают формулы (1.15), (1.16) и (1.18), является то, что для определения коэффициентов Фурье достаточно пользоваться функцией f(x), заданной на половине периода.

Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию

x, 0 ≤ x ≤ π, f (x) = 0, −π < x < 0,

удовлетворяющую условию f(x+2π)=f(x) (рис.1.1).

Рис. 1.1.

Решение. Функция f(x) удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, поэтому можно записать:

11

12

+(−92π cos3x + 13 sin 3x) − sin44x +

+(− 252π cos5x + 15 sin 5x) +...

Полагая в этом равенстве х = 0, получим

0 = π4 − π2 (1 + 312 + 512 +...),

откуда

Используя этот результат, нетрудно убедиться в том, что сумма ряда, записанного в правой части равенства (1.19), при х = π (а следовательно, и при х = (2k+1) π, k – любое целое число), равна π / 2, то есть равна

f (π −0) + f (π + 0) . 2

Пример № 2. Разложить в ряд Фурье функцию

f (x) = sin x ,

удовлетворяющую условию f(x+2 π)=f(x) (рис. 1.2.)

Рис. 1.2

13

Решение. Функция f(x) удовлетворяет условию разложимости в ряд Фурье и является четной функцией, поэтому в разложении ее в ряд Фурье отсутствуют синусы, т.е.

bn = 0.

Тогда

Так как функция непрерывна, это равенство выполняется во всех точках.

14

Пример №3. Разложить в ряд Фурье периодическую функция f(x) с периодом 2π, определенную следующим образом (рис. 1.3):

f (x) = x, - π < x ≤ π,

Рис. 1.3.

Решение. Функция f(x) удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье и является нечетной функцией, поэтому ее ряд Фурье будет содержать только синусы, то есть

α0=0, αn=0.

Интегрируя по частям, вычислим коэффициенты:

Это равенство имеет место лишь в точках непрерывности функции f(x). В точках разрыва x = kπ, где k – любое нечетное число, сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справа и слева, т.е. нулю. Действительно, для k = 1

15

lim f (x) = f (π −0) =π

x→π−0

lim f (x) = f (π + 0) =π ,

x→π +0

f (π −0) + f (π + 0) = 0. 2

Аналогично и в остальных точках разрыва.

2. РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ЛЮБЫМ

ПЕРИОДОМ.

2.1.1. Ряды Фурье для функций с любым периодом

Пусть f(x) – периодическая функция произвольного периода Т = 2l (l – полупериод), кусочно-монотонная или кусочно-гладкая на отрезке [ -l, l ]. Полагая х = αt, получим функцию f(αt) аргумента t, период которой равен 2l / α.

Подберем α так, чтобы период функции f(αt) был равен

2π, т.е.

αT = 2αl = 2π, откуда α = πl .

Тогда подстановка x = πl t (сжатие или растяжение по оси ОХ) приводит к функции

f πlt периода 2π.

Эта функция удовлетворяет условию разложимости в ряд Фурье, так как она кусочно-гладкая или кусочно-монотонная на отрезке [ -π; π]. (Нетрудно заметить, что отрезку [ -l, l ] значения х соответствует отрезок [ -π; π] значений t).

16

Определение. Рядом Фурье функции f(x) произвольного периода Т = 2l, интегрируемой на отрезке [-l, l], называется тригонометрический ряд типа

коэффициенты которого определяются равенствами

17