Методическое пособие 715

Таблица 4.1 Полная группа событий, состоящих в принятии решений

об обнаружении сигнала

Наиболее общий критерий оптимальности решения - минимум среднего риска (риск – вероятная плата за принятое решение).

Средний риск – это риск принятия решения при всех возможных вариантах ошибок и правильных решений (или/или) (с использованием табл. 4.2):

R=p(П00P(0/0)+П01P(1/0))+ q(П10P(0/1)+П11P(1/1)) →min (4.1)

141

где p - априорная вероятность того, что сигнал есть; q=1-p - априорная вероятность того, что сигнала нет.

Правило принятия решения сводится к следующему. Решение принимается по конкретной выборке - набору

значений (x1, x2, ...., xm) принятого колебания, зарегистрированных в моменты времени t1, t2, ...., tm.

Заранее устанавливается граница (порог), разделяющая все множество возможных значений X на две области (X1 - область сигнала и X0 - область шума), которым соответствуют решения о наличии или отсутствии сигнала.

Определяется, куда попала полученная конкретная выборка - в область шума или сигнала.

В простейшем варианте, когда измеряется одно значение x, заранее устанавливается порог, который разделяет множество возможных значений х (от xmin до xmax) на области (xmin , h) и (h, xmax). Решение принимается по правилу: если x≤ h - сигнала нет, если x>h, то сигнал есть. Вероятности принятия правильных и ошибочных решений определяются величиной h и условными вероятностями попадания значения x в ту или иную область:

P0=∫∞ ( |0) - вероятность ложной тревоги (x попало в область, соответствующую сигналу (x>h), когда его нет).

142

P1=∫0 ( |1) - вероятность пропуска цели (x попало

в область, соответствующую шуму (x≤ h ), когда сигнал есть). P(0/0)=1- P0 - вероятность правильного необнаружения. P(1/1)= 1- P1- вероятность правильного обнаружения.

На рис. 4.3 приведена иллюстрация обоснования правила выбора решения.

Рис. 4.3. Иллюстрация обоснования правила выбора решения

На рис. 4.4 приведены рабочие характеристики разведывательного приемника, показывающие зависимость вероятности правильного обнаружения от вероятности ложной тревоги. Они заимствованы из книги Jon C. Leachtenauer, Ronald G. Driggers «Surveillance and Reconnaissance Systems: Modeling and Performance Prediction» («Системы наблюдения и разведки: моделирование и прогнозирование фцнкционирования»).

143

Рис. 4.4. Рабочие характеристики разведывательного приемника

Оптимальное правило выбора решения дает ответ на вопрос о значении оптимального порога H .

Для определения значения оптимального порога H находят минимум функции среднего риска. Для этого в формулу для среднего риска подставляют выражения для всех условных вероятностей, выпаженные через значения порога h, и решают математическую задачу определения экстремума (минимума) R по h.

Условием достижения минимума R является

( |1) ≥ П01−П00 ∙ =H.( |0) П10−П11

Здесь H – теоретически обоснованное значение оптимального порога, с которым сравнивается

l= ( |1) – отношение правдоподобия.

( |0)

В многомерном случае l= ( 1, 2, … . , |1).

( 1, 2, … . , |0)

144

145

Во всех случаях с порогом нужно сравнивать отношение правдоподобия.

Для удобства расчетов используют его логарифм

который соответственно сравнивают с lnH.

Найдем ln l для случая, когда x имеет нормальный закон распределения:

146

В случае 1 (сигнал есть) среднее значение x,

Применение критерия идеального наблюдателя для построения оптимального приемника

По критерию «идеального наблюдателя» прием (обнаружение сигнала) считается оптимальным, когда вероятность совершить ошибку (любую) минимальна (в этом случае вероятность принять правильное решение максимальна).

Вероятность ошибки - это вероятность суммы случайных событий (или-или) - вероятность совершить ошибку 1 или 2 рода, рассчитывается как

Правило выбора решения:

От этой формулы, соответствующей дискретным значениям, перейдем к непрерывным сигналам.

С порогом будем сравнивать

lim ln .

→∞

В случае многомерной выборки нормального случайного процесса (m>1), где все хi независимы,

147

В этой формуле x(t) – принятые значения случайного колебания, а s(t) – детерминированный сигнал, который считается заранее известным (это наихудший для нас вариант ведения разведки – ей известно все о сигнале, кроме факта его присутствия в момент приема).

Из этой формулы следует схема оптимального приемника как технического устройства (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Схема оптимального приемника

Если q=p=1/2, то принятый сигнал сравнивают

отношением (критерий максимального правдоподобия).

0

Из этой формулы видно, что для вынесения решения о наличии или отсутствии детерминированного сигнала, принимаемого па фоне белого шума, нужно принятую

148

реализацию х(t) перемножить с сигналом S(t), проинтегрировать произведение в течение интервала времени Т, где известна реализация, и результат интегрирования сравнить с порогом H, определяемым правой частью формулы (3.41). Если этот пороговый уровень превышен, то принимается решение о наличии сигнала. Если же порог не превышен, то констатируется отсутствие сигнала. Функциональная схема приемного устройства, осуществляющего указанные операции, приведена на рис. 4.3.

При заданном уровне порога связь между отношением сигнал/шум q и вероятностью обнаружения сигнала оптимальным приемником описывается следующей зависимостью

где P(1/0) – вероятность ложной тревоги.

Часто графики зависимости вероятности обнаружения сигнала P(1/1)= Pобн оптимальным приемником от отношения сигнал/шум q на его входе называют кривыми обнаружения, характерный вид которых представлен на рис. 4.6.

Pоб

0,01

0,001

q=0

Рис. 4.6. Кривые обнаружения

Динамическая разведывательная ситуация

В динамической ситуации (рис. 4.7) учитывается зависимость от времени всех факторов, влияющих на условия ведения разведки: изменение дальности от объекта до средства

149

разведки, изменение параметров среды распространении (освещенности, других погодных условий).

Рис. 4.7. Динамическая разведывательная ситуация

Для оценки возможностей в динамической ситуации применяются математические модели, основанные на решении дифференциальных уравнений, модели массового обслуживания и имитационные модели. Одним из наиболее адекватных методов моделирования является метод статистических испытаний (Монте-Карло).

Показателями возможностей ТР в динамической разведывательной ситуации являются вероятности решения задач обнаружения, измерения параметров как функции времени:

Р=Р(t).

Разведывательная ситуация в условиях применения комплекса средств разведки

При условии, что объект может быть обнаружен не одним средством, а любым из некоторой совокупности (комплекса) N средств, возможности разведки оцениваются по формуле:

150