Методическое пособие 668

Обозначим cos x t,

1 t 1

тогда 2t2 3t 2 0, t

2,

t

1

.

2

1

2

cosx 2 и

cosx

1

.

2

Уравнение cosx 2 не имеет решения,

так как функция cos x ограничена

промежутком

1;1 .

Решим уравнение cosx

1

.

2

1

1

x arccos

2 k

arccos

2 k

2

2

2

2 k

2 k,k Z.

3

3

Ответ: x

2

2 k,k Z.

3

Пример. Решим уравнение tgx 2ctgx 1 0.

Решение. Так как ctgx

1

, то уравнение можно записать в виде

tg x

tgx

2

1 0.

tgx

Обозначим tgx z, получим

z2 z 2 0,

z

1,

z

2

2.

1

Ответ: x 4

k;

x arctg 2 k,k Z.

Пример. Решить уравнение 2cos2 x 5cos x 2 0.

Решение.

Данное уравнение является квадратным относительно cos x .

Пусть cos x y,

где

y

1, тогда получим уравнение 2 y2 5y 2 0. Решив

1)

sin

3x

0,

3x

n,

x

2 n

,

n Z;

2

2

3

x

3x

x

x

2)

sin

cos

0 .

По формуле приведения

sin

cos

, тогда

2

2

2

2

2

x

cos

3x

0.

получим cos

2

2

2

Применяя формулу для разности косинусов, получим:

x

2sin

sin x

0, откуда имеем:

2

4

4

x

0,

x

n, x

2 n,

n Z;

1)

sin

2

4

2

4

2

2)

0,

x

n,

x

n,

n Z.

sin x

4

4

4

Таким образом, исходное уравнение состоит из трех бесконечных серий

решений.

Ответ: x

2 n

,

x

2 n,

x

n,

n Z.

3

2

4

Пример.

Решить уравнение tgx sin x 1 0 .

Решение.

Считать

данное

уравнение

равносильным совокупности

уравнений tgx 0

и sin x 1 0 было бы ошибкой. Объясняется это тем, что

из

уравнения

tgx 0

находим

x n ;

из

уравнения

sin x 1

получим

x

2 2 n ,

тогда множитель

tgx , входящий в данное уравнение,

не имеет

смысла,

т.е. значения x 2

2 n,

n Z не принадлежат области определения

уравнения, это посторонние корни. Тогда

x n,

n Z

- корни исходного

уравнения.

Ответ: x n, n Z.

x

Пример.

Решить уравнение

tgx 1

2cos

2 0.

2

Решение.

Данное уравнение распадается на 2 простейших:

1) tgx 1

0,

tgx 1,

x

n,

n Z.

4

x

cos

x

2

x

2) 2cos

2 0,

,

2 n,

2

2

2

2

4

откуда x

2 4 n, n Z.

При этих значениях x

выражение во второй скобке левой части исходного

Ответ: x 4 n,

n Z.

Пример.

Решить уравнение

cos 3xcos x cos2x.

Решение.

Заметим, что cos2x cos 3x x cos3xcos x sin3xsin x ,

тогда данное уравнение имеет вид sin xsin3x 0 , откуда имеем:

1) sin x 0, x n, n Z;

2) sin3x 0, x n , n Z.

3

Нетрудно видеть, что числа вида x n содержатся среди чисел вида

x

n , n Z; так как если n 3k

, то n k . Значит, первая серия корней

3

3

Пример.

Решить уравнение

sin 2x sin 4x sin 6x

1

sin 4x.

4

Решение. Наиболее простым кажется такое решение:

1) sin 4x 0; 4x n,

x n , n Z;

4

2) sin 2xsin 6x

1

или

1

cos 4x cos8x

1

,

4

2

4

cos8x cos 4x

1

0;

2cos2 4x cos 4x

1

0,

2

2

cos 4x

1 5

,

x

1

arccos

1 5

n

, n Z.

4

4

4

2

sin 2xsin 4xsin 6x

1

sin 2xcos 2x, откуда:

2

1) sin 2x 0, x n , n Z;

2) 2sin 4xsin 6x cos 2x или

2

cos2x cos10x cos2x, откуда cos10x 0,

10x

n,

x

n

,

n Z.

2

20

10

Пример.

Решим уравнение sin2x sinx 0.

Решение. Используя формулу синуса двойного угла, запишем уравнение

в виде 2sin x cos x sin x 0

или

sin x(2cos x 1) 0

откуда имеем

1) sin x 0,x k,k Z;

2)

2cos x 1 0, cos x

1

,x

2 k,k Z.

2

3

Ответ: x k,x 3

2 k,k Z.

Пример.

Решим уравнение cos3x sin 5x 0.

Решение.

Используя формулу приведения sin cos

, запишем

2

уравнение в виде cos3x cos

5x 0. Преобразуя сумму косинусов в

2

произведение по формуле (44), получим

4x

0.

2 cos

x cos

4

4

Следовательно,

3

1)

cos

x

0, x

k, x

k,

k Z;

4

4

2

4

4x

0, 4x

k, x

3

k

, k

2)

cos

4

4

2

16

4

Ответ: x

3

k, x

3

k

,

k

4

16

4

Пример. Решим уравнение cos3x cos x cos 2x.

Решение.

Поскольку

cos 2x cos(3x x) cos3x cos x sin 3xsin x,

уравнение примет вид: sin xsin 3x 0.

Следовательно,

1) sin x 0,x k,k Z;

2) sin3x 0,x

k

,k Z.

3

Заметим, что числа вида k содержатся среди чисел вида

k

, k Z , так

3

как если k 3n, то

k

n . Поэтому первое множество корней содержится во

3

втором.

Ответ: x

k

, k Z.

3

atgx b 0 или

tgx

b

.

a

tgx

3

,

x arctg

3

k,

k Z.

2

2

Ответ:

x arctg

3

k,

k Z.

2

Пример.

Решить уравнение

sin x cos x 0.

Решение.

Разделив обе части исходного уравнения почленно на

cos x

получим

tgx 1 0,

tgx 1,

x 4 k,

k Z.

Ответ:

x 4 k,

k Z.

Пример.

Решить уравнение

sin3x cos3x 0.

Решение.

Разделив обе части исходного уравнения почленно на

cos3x

получим

tg3x 1 0,

tg3x 1,

3x arctg( 1) k,

k Z,

k

3x

k,

k Z,

x

k Z.

4

12

3

Ответ:

x

k

k Z.

12

3

asin2 x bsin x cos x ccos2 x 0,

(60)

где a, b, c const

называется

однородным

уравнением второй степени

относительно sin x и cos x , если все три коэффициента a, b, c

или какие-либо

два из них отличны от нуля.

Если a 0, то, рассуждая

аналогично как в п. 9.4, если

cos x 0, то и

cos2 x 0.

Тогда

обе части уравнения (60)

можно почленно разделить на

cos2 x 0.

Получим квадратное уравнение относительно tgx

bsin x cos x c cos2 x 0.

(61)

Это уравнение также является однородным уравнением второй степени,

но поделить обе части уравнения на cos x невозможно, так как

cos x 0.

bsin x cos x ccos2 x cos x(bsin x c cos x) 0,

откуда cos x 0

или bsin x ccos x 0 . Эти уравнения были рассмотрены ранее

(см. п. 9.1 и п. 9.4).

Пример.

Решить уравнение sin2 x 4sin x cos x 3cos2 x 0.

Решение.

Разделив

обе части

исходного

уравнения на

cos2 x 0,

получим

tg2 x 4tgx 3 0.

Обозначив, tgx t

получим

уравнение

t2 4t 3 0 .

Его корни

tg x 1 и

tgx 3.

Уравнение tgx 1

имеет корни x

4 k,

k Z , а

уравнение tgx 3

корни: x arctg3 k,

k Z.

Ответ: x 4 k,

k Z;

x arctg3 k,

k Z.

Пример.

Решить уравнение

22cos2 x 8sin x cos x 7.

Решение.

Так

как

sin2 x cos2 x 1, то

данное

уравнение можно

7tg2 x 8tgx 15 0.

Обозначив, tgx t

получим уравнение 7t2 8t 15 0 . Оно имеет корни

t 1,

t

15

. Таким образом, имеем два простейших уравнения:

2

1

7

tg x 1

и

tgx

15

решения, которых имеют вид

7

x

k,

k Z;

x arctg

15

k,

k Z.

4

7

Ответ:

x

k,

k Z;

x arctg

15

k,

k Z.

4

7

Пример.

Решить уравнение

3sin x cos x cos2 x 0.

Решение.

Делить обе

части

уравнения на cos2 x нельзя, так

как те

значения

x,

при которых

cos2 x 0

удовлетворяют данному уравнению, а

значит,

деление на

cos2 x

приведет

к потере корней. Вынесем

общий

откуда cos x 0 и

3sin x cos x 0.

Из первого уравнения находим

x

k,

k Z. Второе уравнение -

2

однородное первой степени:

tg x

1

,

x

k,

k Z.

6

3

x

k,

k Z.

Ответ: x 2

k,

k Z;

6

1) 50 ; 2)105 ;

3) 45 ;

4)140 ;

5)30 ; 6) 210 .

2.

Найти градусные меры углов, выраженных в радианах:

1) ;

2) ;

3)

2

;

4)

3

; 5)

4 ;

6) 0,36 .

4

3

9

3

3.

Вычислить значения выражений:

10ctg

2)

arctg

1

;

1) 5sin

4

3tg 4

5cos 4

4 ;

cos

tg

4)

5arctg

3

3arccos

2

;

3)

sin

;

2

3

6

4

5)

sin 73cos13 cos73sin13 ;

6)

sin

7

cos

sin

cos

7

;

12

12

12

12

2

2

2

sin

8)

1 2sin

;

7)

cos

;

2

8

8

12

3

2

10) sin 315 ;

9)

2

2cos 15 ;

5

7