Методическое пособие 668

Скалярное произведение

векторов

определяется формулой

OB OC

OB

OC

cos BOC .

Так как

окружность

единичная, а

BOC , получим

cos( ) cos cos sin sin .

(13)

cos( ) cos cos sin sin .

(14)

Формулу синуса суммы

углов

получим, используя формулы приведения

и формулу (13):

sin( ) cos

2

( )

cos

2

cos

cos sin

sin sin cos cos sin .

2

2

Итак,

sin( ) sin cos cos sin .

(15)

Пример.

Вычислить sin( ),

если sin

3

,

;

и

5

2

5

3

cos

,

;

.

13

2

Решение. Найдем сначала

cos

и sin ,

учитывая, что лежит во II

четверти, а в III четверти.

3 2

4

2

cos 1 sin

1

;

5

5

5

2

12

2

sin 1 cos

1

.

13

13

Используя формулу (15), получим

3

5

4

12

33

sin( )

.

5

13

5

13

65

cos470cos170 +sin470sin170

cos(470 170 ) cos300

3

.

2

3

Ответ:

.

2

Пример. Упростить выражение

cos

cos

sin sin .

4

6

4

6

Решение. Воспользуемся формулой (14), получим

5

cos

cos

sin

sin

cos

cos

.

4

6

4

6

4

6

12

Ответ: cos

5

.

12

Пример. Вычислить tg150.

Решение. Представим 150 в виде разности 450 300

и воспользуемся

1

3

tg450

tg300

3

3

0

0

0

3

tg15

tg(45

30

)

.

1 tg450 tg300

3

3

3

1 1

3

4.4. Тригонометрические функции двойного угла

Положим в формулах (14), (15), (17) . Тогда получим равенства

sin 2 2sin cos,

(21)

cos2 cos2 sin2 ,

(22)

tg2

2tg

(23)

.

1 tg 2

Из формулы (22), применяя (7) легко получаются следующие

соотношения:

cos2 1 2sin2 ,

(24)

cos 2a 2cos2 1.

(25)

Пример.

Вычислить:

а)

sin 2 , если

cos

4

и

3

2 ;

2

5

б)

cos2, если

cos 0,2

и

;

2

в)

tg2 , если

tg

3

и

3

.

4

2

4

2

3

sin

1

.

5

5

По формуле (21) находим

sin 2 2

3

4

24

.

5

5

25

2

3

4

3

в) По формуле (23) находим tg2

3

.

3

2

7

1

4

Из формул (24) и (25) выразим

sin2 , cos2 :

cos2

1 cos 2

, sin2

1 cos 2

.

(26)

2

2

sin

1 cos 2

;

(27)

2

2

cos

1 cos 2

;

(28)

2

2

tg

1 cos 2

;

(29)

2

1 cos 2

ctg

1 cos 2

.

(30)

2

1 cos 2

tg

sin

;

(31)

2

1 cos

tg

1 cos

.

(32)

2

sin

В левой части формулы (32)

(2k 1), в правой части k, k Z.

ctg

1

cos

.

(33)

2

sin

В левой части формулы (33)

2 k, в правой части k,

k Z.

ctg

sin

.

(34)

2

1

cos

Пример. Дано cos

1

,

.

Вычислить sin

,

cos ,

tg .

2

2

2

2

2

Решение. По формулам (27) и (28) находим

1

1

sin

1

cos

1

1

3

2

;

2

.

2

2

2

2

2

2

Радикал в обоих случаях положителен, так как из условия следует, что угол

2

лежит в I четверти

.

4

2

tg

1

:

3

1

3

.

2

2

2

3

3

Ответ: sin

tg

1

;

cos

3

;

3

.

2

2

2

2

2

3

Пример.

Вычислить

tg

,

если sin

4

,

.

2

5

2

Решение.

Находим

cos

1

4

2

3

.

Радикал отрицателен,

так

5

5

как из условия следует,

что угол

лежит во II четверти. По формуле (31)

4

sin

5

2.

получаем tg 2

1 cos

1

3

5

1 tg2

cos

2

,

(2k 1),

k Z;

(36)

1 tg2

2

2tg

tg

2

,

(2k 1),

k Z;

(37)

1 tg2

2

1 tg2

ctg

2

, k,

k Z.

(38)

2tg

2

Пример. Вычислить sin,

cos,

tg,

ctg, если tg

2.

2

Решение. Используя формулы (35) - (38), получим

sin

2 2

4

;

cos

1 22

3

;

1 22

1 22

5

5

tg

2 2

4

;

ctg

1 22

3

.

1

22

3

2 2

4

Ответ: sin

4

;

cos

3

;

tg

4

;

ctg

3

.

5

5

3

4

sin cos

1

sin( ) sin( ) .

(39)

2

Сложим третье и четвертое равенства:

cos cos

1

cos( ) cos( ) .

(40)

2

Вычтем из четвертого равенства третье:

sin sin

1

cos( ) cos( ) .

(41)

2

а)

sin5x sin3x;

б)

cos

x

cos

x .

12

12

Решение.

а)

sin5x sin3x

1

cos(5x 3x) cos(5x 3x)

1

cos 2x cos8x ;

2

2