Методическое пособие 668

Синус острого угла прямоугольного треугольника равен

отношению

противолежащего катета к гипотенузе sin =

a

.

c

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен

отношению

противолежащего катета к прилежащему катету

tg =

a

.

b

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника равен

отношению

прилежащего катета к противолежащему катету ctg =

b

.

a

Выражая из этих формул a, b, c получим,

a c sin;

b c cos ;

a b tg .

0

30

45

60

90

180

270

360

0

6

4

3

2

3 2

2

1

sin

0

1

2

3

1

0

1

0

2

2

2

2

1

cos

1

3

1

2

0

-1

0

1

2

2

2

2

tg

0

1

3

1

-

0

-

0

3

3

3

ctg

-

1

1

3

0

-

0

-

3

3

3

Рис. 5. Определение углов кратных 90

Так как точка B имеет координаты

x

1 и y

0 , то

sin180 0,

cos180 1,

tg180 =

y

0

0.

x

1

Так как точка C имеет координаты

x

0 и y

1, то

sin 270 1,

cos 270 0,

ctg270 =

x

0

0.

1

y

Знаки тригонометрических функций угла

в каждой из четвертей

приведены на рис. 6.

13

Знаки синуса и

Знаки косинуса

Знаки тангенса

и косеканса

и секанса

и котангенса

Функции sin , tg , ctg , cosec

– нечетные, а функции cos , sec

–

четные.

Таким образом, справедливы следующие формулы:

sin( ) sin ;

tg( ) tg;

ctg( ) ctg;

cosec( ) cosec;

(4)

cos( ) cos;

sec( ) sec .

Например, cos( 400 ) cos40 ;

tg( 60 ) tg60 .

(на единичной окружности x

cos ,

y

sin

).

Поскольку тригонометрические функции определены с помощью

координат вращающейся точки, то все они являются периодическими.

Наименьший положительный период (его называют основным периодом)

функций sin ,

cos ,

sec ,

cos ec

равен

T 2 .

Наименьший положительный период функций tg

и ctg

равен T

.

Поэтому

для всех

из

области

определения

функции

справедливы

формулы:

sin sin( 2 k);

cos cos( 2 k);

sec sec( 2 k);

cosec cosec( +2 k);

(5)

tg tg( k);

ctg ctg( k), k 1,2,

В приведенных

выше

формулах,

k

0 если точка двигается против

часовой стрелки и k

0 если точка двигается по часовой стрелке.

sin 7650 sin(2 3600 450 ) sin 450

2

;

2

3)

функция - нечетная, т.е. sin(x) sin x для всех

x R;

4)

функция - периодическая, с наименьшим периодом T 2 :

sin x sin(x 2 k),

x R, k Z;

5)

нули функции: sin x 0 при

x k,

k Z;

6)

промежутки знакопостоянства: sin x 0 при

x (2 k; 2 k),

k Z,

sin x 0 при

x ( 2 k; 2 2 k),

k Z;

7)

монотонность:

функция возрастает от 1 до 1 на отрезках

2 k;

,

k ,

2 k

2

2

функция убывает от 1 до 1 на отрезках

3

2 k;

2 k

,

k ;

2

2

8) наибольшее значение функции: sin x 1 в точках

x

2 k,

k Z ,

2

наименьшее значение функции sin x 1 в точках

x

2 k,

k Z;

2

y cos x - функция ограниченная;

3)

функция - четная, т.е. cos(x) cos x для всех

x R;

4)

функция - периодическая, с наименьшим периодом T

2 :

cos x cos(x 2 k),

x R, k Z;

5)

нули функции: cos x 0 при

x

2 k,

k Z;

6)

промежутки знакопостоянства:

cos x 0 для всех

3

x

2 k;

2 k , k Z, cos x 0

при x

2 k;

2 k

, k Z;

2

2

2

2

7) монотонность:

функция возрастает от

1 до 1 на отрезках

2 k;

2 k ,

k ,

функция убывает от 1 до 1 на отрезках

2 k;

2 k ,

k ;

8) наибольшее значение функции: cos x 1 в точках x 2 k,

k Z,

наименьшее значение функции cos x 1 в точках x 2 k,

k Z;

9) функция непрерывна и имеет производную при любом значении

аргумента: (cos x) sin x.

3.3. Свойства функции y tgx и ее график

График функции y tgx

называют тангенсоидой (рис.10).

Отметим основные свойства функции y tgx :

1) область определения

множество R всех действительных чисел,

кроме чисел вида x 2 k,

k Z;

Рис. 10. График функции

y tgx

3)

функция - нечетная, т.е.

tg(x) tgx

для всех

x из области

определения функции;

4)

функция - периодическая, с наименьшим периодом T

:

tgx tg(x k),

k Z,

для всех x из области определения функции;

5)

нули функции: tgx 0

при

x k,

k Z;

6)

промежутки знакопостоянства:

tgx 0

при x ( k;

k), k Z,

2

tgx 0

при

x (

k;

k),

k Z;

2

7)

монотонность: функция возрастает в интервалах

k;

k

k ;

2

2

,

19

8) функция непрерывна и имеет

производную

при

любом значении

аргумента из области определения функции: (tgx)

1

.

cos2 x

3.4. Свойства функции

y ctgx и ее график

График функции y ctgx называют котангенсоидой,

она изображена на

рис. 11.

Рис. 11.

График функции

y ctgx

Отметим основные свойства функции y ctgx

1) область

определения

множество

R всех действительных чисел,

кроме чисел вида

x k,

k Z;

2) множество значений - множество

R всех действительных чисел,

значит y ctgx - функция неограниченная;

3) функция - нечетная,

т.е. ctg(x) ctgx для всех

x из области

определения функции;

4) функция - периодическая, с наименьшим периодом T

:

20