Дискретная математика в информационных системах и технологиях. учебное пособие. Пашуева И.М., Шелкова А.Н

Решение. Этап I.

Первая итерация.

Узел x2 надо было поместить в конец очереди, но Q было пусто, поэтому конец очереди совместился с началом.

Узел x3 надо помещать в начало очереди, но он уже там находится.

121

d x5 min 10, 4 9 5. 5 10? Да. Q х5 , х3 .

d x5 min 5, 4 7 3. 3 5? Да. Q х5 , х6 . d x6 min 8, 4 5 8. 9 8? Нет.

Шаг 3. Q ? Нет.

Шестая итерация.

чайшие расстояния от первого до остальных узлов. Данные

d x5 3, d x6 0.

Этап II.

~

Вносим дугу x4 , x3 в минимальный путь. x х4 . Переходим к шагу 4.

x1, x2 x2 , x4 x4 , x3 x3 , x5 x5 , x6 .

3.4.Нахождение максимальных путей на орграфах

Алгоритм нахождения максимального пути.

Для определения наибольшего пути граф G (сеть) должен быть ациклическим, иначе может получиться, что длины некоторых путей бесконечны. Пусть задан Gn ацик-

124

лический граф, тогда каждые две его вершины xi x j удов-

3) нет пути между xi и x j .

Первое и второе условия вместе не могут быть выполнены из-за требуемой ацикличности графа.

Сначала нужно упорядочить вершины графа. Алгоритм нахождения наибольшего пути является перечислительным. Он перебирает все возможные пути от текущей вершины до остальных, достижимых из неё.

Предположим, что d j – длина наибольшего пути от

Соотношения (*) дают возможность просто определить длины наибольших путей от s x1 до вершин, достижимых из

вершины s. Эти пути могут быть найдены с помощью этапа II алгоритма Дейкстры.

Пример. Граф (сеть, рис. 39) имеет матрицу весов :

125

Рис. 40. Граф с упорядоченными вершинами.

путь. Таким образом, требуемый путь следующий:

max x1, x2 – x2 , x4 – x4 , x3 – x3 , x5 – x5 , x6 .

127

Особенности алгоритмов теории графов:

1)Любой алгоритм включает набор конечного количества правил и установок. Операции над графами (матрицей), осуществляемые по этим правилам, должны быть достаточно просты;

2)Алгоритм используется в дискретном времени, правила алгоритма − по шагам, количество шагов конечно;

3)Какое из правил будет использовано на текущем шаге или какая операция будет произведена по некоторому правилу, определяется только по результатам предшествущих шагов;

4)Алгоритмы имеют свойство локальности: операция по правилами или доказательство непротиворечивости некоторой операции правилам алгоритма осуществляется при исследовании дуг, инцидентных данной вершине, или вершин, соседних с данной;

5)Алгоритмы имеют свойство массовости: используются или для всех, или для какой-то бесконечной совокупности графов.

3.5.Остовы графов, фундаментальные циклы Деревья (основные определения).

Деревом именуется связной граф, не имеющий циклов. Всякий граф без циклов именуется лесом. Получаем,

Card S n, Card U m. В этом случае имеет место равносильность следующих заключений.

1)G – дерево.

2)G – связной граф и m n 1.

3)G – ациклический граф и m n 1.

128

4) Каждые две различные вершины графа соединяет только одна простая цепь.

5) G – ациклический граф, удовлетворяющий условию, что если произвольную пару его несоседних вершин соединить ребром, то новый граф будет иметь единственный цикл.

Рис. 41. Пример дерева

Орграф именуется ориентированным деревом (сокращённо ордеревом), когда:

1)найдётся единственная вершина x1 S, именуемая

корнем, не имеющая имеет предшествующих вершин, таким образом, P x1 0;

2)каждой вершине xj х1 в графе G непосредственно

предшествует единственная вершина, таким образом,

P xj 1.

Неориентированное дерево можно превратить в ориентированное, взяв за корень некоторую вершину.

129

х1 G

х3

х9

х7

х5 х6

Рис. 42. Ордерево

Корень графа G – вершина x6 .

Подграф G (S ,U ) графа G (S,U ) называется ос-

товным подграфом при условии, что S S.

Подграф G графа G именуется остовным поддеревом (другими словами, остовным каркасом), когда S S и G – дерево.

Теорема Кэли.

Количество всевозможных деревьев, построенных на n разных вершинах определяется как tn nn 2 .

Теорема Кирхгофа.

Количество остовных деревьев в связном графе G порядка n 2 равно алгебраическому дополнению (по-другому,

адъюнкте) произвольного элемента матрицы Кирхгофа B G .

Пример.

130