Методическое пособие 484

108

матрицы Гессе в текущей точке H(Xi) плохо обусловлена. Кроме того, поскольку аппроксимация матрицы вторых производных A(Xi) также плохо обусловлена, вектор направления поиска Pi, являющийся решением уравнения A(Xi)=VQ(Xi), не точно указывает на минимум целевой функции в следствие конечной разрядности представления чисел в ЭВМ. Эта неточность тем больше, чем овражнее функция,

подвергающаяся минимизации, т. ею чем больше число обусловленности матрицы

(прямой или обратной) ее вторых производных. Анализ целевых функций, формируемых при оптимизационном проектировании рекурсивных ЦФ, показал, что разброс чисел обусловленности достигает 104, т. е. Для минимизации этих функций требуется применение методов, специально ориентированных на минимизацию овражных целевых функций.

Одним из таких методов является метод сопряженных градиентов с улучшением обусловленности [2]. Структурная схема алгоритма, реализующего данный метод,

показана на рисунке 4.3. Исходными данными являются следующие параметры: АЧХ в линейном или логарифмическом масштабе; частота дискретизации; порядок проектируемого фильтра; начальные значения коэффициентов; точность поиска минимума целевой функции, точность одномерного поиска, максимальное число итераций.

Целевая функция, как и в работах [3,4], вычисляется согласно выражению (4.14).

Однако, поскольку коэффициенты звена 2–го порядка передаточной функции фазоминимального ЦФ не превышают по модулю значения, равного двум, дополнительно

больше 2) при превышении i – значением вектора коэффициентов величины X max 2 .

Это уменьшает область поиска минимума целевой функции.

Градиент целевой функции вычисляется в соответствии с выражением

110

вектора коэффициентов ЦФ.

Одномерный поиск осуществляется с помощью алгоритма полиномиальной интерполяции с использованием квадратичной аппроксимации целевой функции в окрестности минимума. Он имеет более сильную сходимость по сравнению с методом

«золотого сечения» и аналогичные вычислительные затраты [2].

Направление одномерного поиска при градиентном шаге определяется одновременно с вычислением градиента p(xk)=-VQ(xk), а при поиске по методу сопряженных градиентов с улучшением обусловленности – по следующим формулам [2]:

используется формула ДФП.

Если какие–либо корни числителя или знаменателя передаточной функции спроектированного ЦФ расположены вне единичного круга, они заменяются на обратные с соответствующей корректировкой K*, после чего процедура оптимизации повторяется.

Если полученный ЦФ вновь окажется неустойчивым, снова осуществляется инверсия нулей и полюсов, расположенных вне круга, корректировка K* и вывод результатов.

В качестве примера был спроектирован широкополосный дифференциатор [6]

2f

Вработе [6] с помощью программы, реализующей метод ДФП и приведенной в работах [3, 4] после 96 итераций были получены значение целевой функции Q=2.780*10-4

иЦФ со следующими параметрами: К*=0,36637364; нули: 1; -0,67082621; полюса: - 0,1424030; -0,71698670.

Предлагаемая программа после 19 итераций достигла Q=2.7512*10-4. Полученный дифференциатор имеет следующие параметры:

Нули: 0.99973886; -0,67061978; полюса: -0,14240059; -0,71679645.

АЧХ дифференциатора из работ [3, 4] и полученного приведены на рисунке 4.4.

4.3 Оптимизация частотных характеристик гребенок фильтров

Появление гребенок цифровых фильтров с линейной ФЧХ [ ] создало условия для разработки программно – управляемых устройств с изменяемой АЧХ, находящих применение при построении адаптивных приемников широкополосного сигнала, когда необходимо, в зависимости от конкретного распределения сигналов и помех на частотно – временной плоскости, изменять АЧХ приемника.

Структурная схема описываемого режекторного фильтра (РФ) выбиралась с учетом обеспечения максимального динамического диапазона входных сигналов,

технологичности и высокой повторяемости параметров.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном учебном пособии проведен анализ достоинств и недостатков известных методов оптимального проектирования и оптимизации применительно к устройствам цифровой обработки и защиты информации. Показано, что известные стандартные методы векторной оптимизации недостаточно полно учитывают основные особенности задач оптимального проектирования рассматриваемых устройств. Осуществлена векторная постановка задачи оптимального проектирования УЦОС, обеспечивающая более адекватное представление задачи оптимального проектирования реальной проектной задаче и обобщающая известные однокритериальные задачи оптимального проектирования этих устройств. Рассмотрена обобщѐнная методика решения векторных задач оптимального проектирования УЦОС, ключевым этапом которой является решение задачи векторной оптимизации.

Предложены методы и разработаны алгоритмы формирования обобщенных критериев оптимальности УЦОС для наиболее общего случая задания требований ТЗ на ЧХ в виде коридоров допусков и в виде "эталонных" функций.

Показано, что наибольший объем вычислений и затраты времени ПЭВМ при оптимизации характеристик УЦОС приходятся на расчет входящих в состав этих устройств передаточных функций НЦФ и РЦФ.

Разработан алгоритм быстрого расчета ЧХ НЦФ высокого порядка,

построенный на основе использования варианта БПФ, требующего минимальных затрат на подготовку к расчету и расчет ЧХ НЦФ. Приведено описание алгоритма быстрого расчета ЧХ РЦФ, построенного на основе использования схемы Горнера.

Показано, что применение полуаналитических методов расчета производных позволяет повысит эффективность соответствующих алгоритмов.

Приведены формулы расчета вторых производных для методов оптимизации 2-го порядка с использованием первых производных.

Показано, что в общем случае задача оптимизации обобщенных критериев оптимальности сводится к задаче НЛП, в которой в качестве целевой функции могут использоваться среднестепенной и минимаксный критерии.

Разработан поисковый алгоритм минимизации обобщенных критериев оптимальности и обоснована необходимость его использования на начальных этапах решения соответствующей задаче НЛП.

Построены экономичные алгоритмы КНМ и метода сопряженных градиентов, учитывающие специфику и "овражный" характер целевых функций задачи НЛП, возникающих при решении задачи минимизации среднестепенного и специального критериев оптимальности. Установлено, что использование минимаксного критерия позволяет более точно воспроизводить заданные характеристики УЦОС, однако требует применения более сложных методов оптимизации.

Приведены примеры решения задач оптимального проектирования устройств цифровой обработки и защиты информации.