Методическое пособие 484

Приведенный критерий имеет необходимую гибкость в формализации требований к

АЧХ ЦФ. В тех случаях, когда важно получить лишь относительную форму АЧХ ЦФ,

форма АЧХ не важна, а желательно приблизить лишь абсолютные значения функции на

Изменением весовых коэффициентов в (1.15) можно получить любую комбинацию требований к ФЧХ. Так, в случае, когда важно получить лишь заданную относительную форму ФЧХ, независимо от ее наклона и абсолютного значения фазы на частоте 0 , следует

результате такого разделения функций внутри формального критерия для характеристик УЦОС удается получить необходимую гибкость в формализации требований к частотным и временным характеристикам УЦОС, что, в свою очередь, позволяет реализовать проблемно – адаптивный подход [103] при их организации.

Важнейшими показателями качества ЦФ являются аппаратные затраты на реализацию и стоимость. Аппаратные затраты на реализацию и стоимость ЦФ определяются, в основном,

объемом алгебраических операций умножения и сложения, которые можно приближенно оценивать порядком N ЦФ. Следовательно, в ряде случаев для сравнительной оценки аппаратных затрат на реализацию ЦФ можно использовать критерий:

74

Перечисленный базовый набор ЛКО Qk ( X ) , k [1,M], может расширяться и модифицироваться путем введения новых критериев, реализующих специфические требования ЧТЗ. Следовательно, в зависимости от конкретных требований ЧТЗ число ЛКО

ивыше рассмотренные. Заметим, что приведенная нумерация ЛКО имеет условный характер

ив дальнейшем не соблюдается.

Определение состава ЛКО из всего множества возможных, в том числе рассмотренных выше, осуществляется на основе требований ЧТЗ для конкретного устройства. При решении задачи проектирования важно выделить группу независимых критериев. В дальнейшем для простоты полагаем, что все ЛКО стандартизованы [19],

приведены к безразмерному виду, положительны и убывают с ростом качества. Для количественной оценки зависимости между парами критериев можно определить значение коэффициента корреляции [85]:

быть исключен из рассмотрения.

Наличие нескольких локальных критериев, по существу, отражает ту неопределенность целей, которая присутствует при проектировании любого сколь - нибудь сложного технического объекта [1 - 3, 7 - 11, 13, 18, 68, 96], в том числе и УЦОС. Каждый из

локальных критериев желательно минимизировать или максимизировать

75

Однако при составлении формализованного ЧТЗ, а также в процессе проектирования требования Ошибка! Источник ссылки не найден. могут быть изменены или дополнены с

помощью следующих соотношений, называемых критериальными ограничениями [85, 96]:

Соотношения Ошибка! Источник ссылки не найден., Ошибка! Источник ссылки не найден. и Ошибка! Источник ссылки не найден. не исключают друг друга. Напротив,

как правило, оптимизационные задачи Ошибка! Источник ссылки не найден. решаются с учетом ограничений Ошибка! Источник ссылки не найден. или Ошибка! Источник ссылки не найден., отражающих требования к выходным параметрам, подлежащим безоговорочному выполнению.

Критериальные ограничения принципиально отличаются от функциональных.

Выполнение критериальных ограничений отражает стремление получить оптимальный или близкий к оптимальному вариант устройства среди множества альтернативных вариантов устройства, заведомо удовлетворяющих функциональным ограничениям, то есть функционирующих правильно. В этом случае можно сказать, что критериальные ограничения по своей сути являются менее жесткими, чем функциональные. Однако, грань между функциональными и критериальными ограничениями может быть весьма условной и зависит от конкретной задачи проектирования [96].

Список параметрических, функциональных и критериальных ограничений составляет основную часть ЧТЗ на проектирование устройства. Эти ограничения выделяют допустимое множество D, которое содержит решения, удовлетворяющие требованиям ЧТЗ. В множестве

D имеется подмножество П неулучшимых или так называемых парето-оптимальных [1 -2, 7 - 11, 13 - 14, 18 - 19, 68, 85] вариантов структур УЦОС, которые нельзя одновременно улучшить по всем оптимизируемым критериям, не ухудшив при этом значения хотя бы одного из этих критериев.

Очевидно, что вариант оптимального устройства, которое запускается в серийное производство, обязательно должен быть парето-оптимальным. Действительно, предприятие,

выпускающее допустимые УЦОС, но не паретовские, наносят себе экономический ущерб.

Ведь это означает, что такие устройства могут быть улучшены одновременно по всем критериям, то есть устройство заведомо неконкурентоспособно и заведомо плохо используются его внутренние ресурсы. Однако далеко не всякое паретовское решение устраивает проектировщика. Именно поэтому принципиально важно уметь строить

76

содержательное (представительное) паретовское множество решений, из которого проектировщик в дальнейшем определяет оптимальное. Следовательно, все разрабатываемые УЦОС должны быть парето-оптимальными. Особенно важно соблюдение этого условия, когда речь идет о массовом и серийном производстве. В этом плане надо помнить, что разница в себестоимости между просто хорошими (допустимыми)

устройствами и оптимальными весьма существенна.

Таким образом, в наиболее общем случае математически задача оптимального проектирования УЦОС может быть сформулирована в следующем виде: требуется найти из множества возможных вариантов структуру S {S1, ..., SK} и вектор параметров Х=(X1,X2, ,XN), которые обеспечивают наилучшее значение векторной функции цели:

где множество D образовано ограничениями (1.4) – (1.6), (1.19) и (1.20).

Ценность приведенной векторной постановки задачи оптимального проектирования УЦОС заключается прежде всего в том, что она ориентирована на решение некоторой обобщенной задачи максимальной сложности. Эта постановка включает в себя все известные в литературе задачи оптимального проектирования УЦОС, приведенные, например, в работе

[15, 33, 72]. Универсальность векторной задачи оптимального проектирования обеспечивается некоторой избыточностью ЛКО и ограничений, а специализация - ее настройкой, осуществляемой, например, путем отбора состава локальных критериев Qk , k [1,M] и ограничений Ошибка! Источник ссылки не найден., Ошибка! Источник ссылки не найден., Ошибка! Источник ссылки не найден., Ошибка! Источник ссылки не найден. и Ошибка! Источник ссылки не найден.. В частном случае при M=1 задача

Ошибка! Источник ссылки не найден. представляет собой задачу нелинейного программирования (НЛП) со скалярным критерием Q(X ) . Следовательно, ЗВО обобщает обычную задачу скалярной оптимизации на случай M>1, что в общем случае обеспечивает более адекватное представление реальной задачи оптимального проектирования. Настройка на конкретную задачу выполняется как на основе исходных данных, заложенных в требованиях ЧТЗ, так и в процессе решения задачи.

1.2 Методика решения задач оптимального проектирования

77

Предлагаемая в данной работе методика проектирования УЦОС базируется на решении задачи оптимального проектирования с векторной функцией цели и включает в себя шесть основных этапов:

-формирование и анализ ЧТЗ;

-формализация конкретной задачи оптимального проектирования;

-формирование допустимого множества альтернативных вариантов (ДМАВ) структур УЦОС;

-выбор метода векторной оптимизации;

-решение ЗВО и построение паретовского множества для структуры Sj;

-объединение множеств Парето для альтернативных структур и выбор оптимального решения.

Схема процесса проектирования УЦОС приведена на рис. 1.1.

Процедура формирования ЧТЗ происходит в соответствии с ее описанием,

приведенным в п. 1.1. При выполнении этой процедуры незаменимы опыт и интуиция проектировщика. По этой причине формирование ЧТЗ целесообразно осуществлять в диалоговом режиме. Диалоговый режим способствует активизации творческой активности проектировщика. Происходит это за счет управляемого циклического обмена информации между проектировщиком и ПЭВМ, понимания проектировщиком возможностей ПЭВМ и своей ответственности при формировании ЧТЗ.

Этап формализации задачи оптимального проектирования заключается в выборе локальных критериев оптимальности, назначении критериальных, функциональных и параметрических ограничений. Выбор состава локальных критериев проектирования - сугубо немашинная процедура, и здесь незаменимы опыт и интуиция проектировщика. Поэтому процедуру векторной постановки задачи оптимального проектирования УЦОС целесообразно заложить в основу диалога проектировщика с ПЭВМ. Проектировщик должен решать проблемы формулировки конкретных задач оптимального проектирования и осуществлять ввод совокупности исходных данных. В ПЭВМ будут храниться библиотеки критериев оптимальности, критериальных, функциональных и параметрических ограничений,

библиотеки методов оптимизации и. т. п.

Формирование ДМАВ структур обычно осуществляется либо путем выбора из ряда известных, либо путем синтеза новой (новых) структуры (структур) [1 - 2, 6, 13, 15, 33, 38, 41, 45, 52, 58]. Допустимой является та структура УЦОС, которая удовлетворяет всем требованиям ЧТЗ. Обычно для конкретного ЧТЗ существует целое множество допустимых структур [58]. Среди них необходимо найти одну, наиболее предпочтительную по

78

векторному критерию структуру. На практике проектировщик знает ограниченное число структур аналога или прототипа, что совершенно не гарантирует оптимальности выбора, так как среди этих структур может не оказаться именно той, которая и будет оптимальной.

Задача синтеза достаточно представительного множества допустимых структур рекурсивных ЦФ строго формализована и решена в монографии [58]. При этом синтез может быть изобретением, а может и не быть им. Достатчно полный перечень нерекурсивных структур можно найти в работе [15]. На четвертом этапе осуществляется выбор метода решения ЗВО

Ошибка! Источник ссылки не найден.. Решение каждой конкретной ЗВО требует индивидуального подхода и связано с применением нескольких (комбинированных) методов оптимизации [1, 7 - 11, 13, 17, 19 - 20, 27, 31, 39, 43, 68, 77, 94].

На пятом этапе путем решения ЗВО Ошибка! Источник ссылки не найден.

осуществляется поиск множества оптимальных по Парето вариантов для структуры Sj. В

векторных задачах множество допустимых решений D может быть разделено на две части

D=С П , C П =0 [68]. В первой (множество согласия С) качество решения может быть улучшено одновременно по

79

Рис. 1.1 Схема процесса автоматизированного проектирования УЦОС

80

всем локальным критериям. Во второй (множество Парето П ) улучшение качества по одним критериям вызывает ухудшения качества других и выбор любого из них основан на компромиссе. Следовательно, поиск оптимального решения может быть ограничен множеством П . Таким образом, для векторных задач сужается область возможных решений и осуществляется переход к задачам со строгим противоречием критериев.

Для практики реальный интерес представляет случай, когда число альтернативных устройств из множества допустимых решений D, удовлетворяющих всем ограничениям и

условиям, много больше двух [14]. В этом случае нужно выделить множество П парето -

оптимальных устройств. При выделении все отсеиваемые устройства являются безусловно худшими, так как они найдены путем применения критерия Парето, который лишен какого-

либо произвола и условности (безусловный критерий предпочтения) [19]. Если множество

П содержит только одну точку - задача считается решенной. Однако такой идеальный случай для задач проектирования УЦОС нереален, и полученное множество П будет содержать более одной точки.

Наличие множества парето-оптимальных решений П показывает, как разрешить

противоречие (найти компромисс) между отдельными ЛКО. Однако критерий Парето не

позволяет выбрать единственное решение из множества П . Процедура выделения

множества П - легко формализуется, и ее может выполнить ЭВМ, а выбирать решения из П может только проектировщик. Принципиальное отсутствие единственного оптимального решения не ограничивает, а расширяет творческие возможности проектировщика. Более того, изучение множества П дает ему ценную информацию для принятия решения о выборе внутри множества П .

81

дала бы только одну из точек множества П . В ситуации, показанной на рис.1.3б,

оптимизация по Q1 , Q2 или их комбинациям (1.22) дала бы тоже единственное решение - Г.

Таким образом, если противоречие существует, то форма П дает информацию о его глубине.

В ситуации на рис. 1.3а ЛКО в П меняются в широких пределах, противоречие -

глубокое. Задача выбора единственного решения из П - непростая, ущерб в случае

неправильного решения - велик. При проектировании серийных изделий может оказаться целесообразным решение о выпуске ряда изделий, например Л, Г1, Г2, Н с различными сочетаниями ЛКО. В ситуации на рис.1.3б ЛКО в П меняются в узких пределах,

противоречие - неглубокое. Задача выбора - простая (например, можно выбрать среднюю точку Г). Риск в случае ошибочного решения невелик. Эта ситуация близка к ситуации на

рис. 1.3а, поэтому можно говорить о практическом отсутствии противоречий.

Если противоречие сильное, форма П дает информацию о его характере и

возможности достижения компромисса. Противоречие в ситуации на рис. 1.4а -

трудноразрешимое. Попытка улучшить Q1 вблизи точки Н или Q2 вблизи точки Л приводит к большому проигрышу в значении другого ЛКО. Компромисс в этой ситуации практически недостижим. Если форму П путем коррекции изменить не удастся, наиболее естественное решение - выпускать два вида устройств - с параметрами Х вблизи точки Л и вблизи точки Н.

Устройство с параметрами вблизи точки Г выпускать не стоит. Следует заметить, что ситуация, подобная представленной на рис. 1.4а, может быть идентифицирована и изучена только при векторной постановке задачи. Оптимизация целевых функций Ошибка!

Источник ссылки не найден. даже при варьировании коэффициентов ai в данном случае не может дать ничего, кроме точек Л или Н (в зависимости от весовых коэффициентов). Все

решениям. В ситуации, подобной показанной на рис. 1.4б, векторная постановка задачи наиболее оправдывается. Оптимизация по Q1 дала бы решение Л и большой проигрыш по

Q2 , оптимизация по Q2 - решение Н и большой проигрыш по Q1 . Векторная постановка задачи дает проектировщику множество П в виде кривой ЛГН, и он получает возможность найти хороший компромисс - точку Г. Следует признать, что в этом последнем случае точка Г или близкая к ней может быть найдена и в результате оптимизации целевых функций (1.23)

82

с удачно подобранными коэффициентами. Но при такой технологии проектировщик не будет знать, что найденное решение является удачным компромиссом.

Если все альтернативные структуры Sj, j [1,K] просмотрены, то осуществляется переход на шестой этап. В противном случае выбирается очередная структура Sj+1 и для нее выполняется пятый этап.

Шестой этап заключается в объединении множеств Парето для всех структур Sj, j [1,K] и выборе одного приемлемого решения. Для разных структур конструкций S области

D, вообще говоря, разные (см. рис. 1.5). Можно предложить следующее правило поиска

точки. Эти структуры являются парето-оптимальными. Таким образом, сопоставление различных устройств сводится к сопоставлению их множеств П . Рис. 1.5 иллюстрирует процесс объединения и сопоставления множеств Парето для различных структур. В ситуации на рис.1.5 структуры S1 и S3 парето - оптимальные, содержащие точки множества П ABC .

Структуры S2 и S4 следует исключить из дальнейшего рассмотрения. Эффективность новой структуры, в частности, вновь изобретенной [14] применительно к рассматриваемой постановке задачи следует оценивать, сопоставляя ее характеристики в пространстве ЛКО с множеством П известных решений. Если хотя бы одна точка новой структуры S5 попадает внутрь угла М2ММ1, то структура S5 - безусловно лучшая, а S1 и S3 можно далее не рассматривать. Если структура S5 при любых Х, удовлетворяющих Ошибка! Источник ссылки не найден. - Ошибка! Источник ссылки не найден., Ошибка! Источник ссылки не найден. не дает новых точек множества П , она не представляет интереса для решения рассматриваемой задачи. После получения множества Парето П для всех структур,

необходимо выбрать единственное оптимальное решение. Для этого требуется принять решение о всевозможных (целесообразных) компромиссах между ЛКО. Обычно такое решение принимает проектировщик, руководствуясь особенностями конкретной задачи, а

также своим опытом и интуицией. Однако более предпочтительным путем решения задачи выбора является скаляризация задачи. В этом случае мы приходим к однокритериальной задаче оптимизации на множестве Парето. Может создаться впечатление, что пришли к тому, с чего начали. Однако это не так, поскольку при формировании множества Парето

83