Методы оптимального проектирования устройств цифровой обработки и защиты информации. Борисов В.И., Гармонов А.В

задача скалярной оптимизации будет сформулирована в виде задачи минимаксной аппроксимации, а именно, подставляя (2.4) в (2,5) имеем

XE

Вобщем случае аналитическое решение задачи (2.3) неизвестно. Для численных

методов расчета характеристик устройства необходимо перейти к дискретной задаче путем

точек в поддиапазоне E i , то соответственно условия работоспособности будут определяться соотношениями

а дискретная минимаксная задача, следующая из исходной непрерывной задачи (2.3), может быть сформулирована в виде задачи скалярной оптимизации Ошибка! Источник ссылки не найден., где

q 1 - целое положительное число.

94

Когда требования ЧТЗ заданы в виде коридоров допусков, то в [2] предложено вместо обобщенного критерия (2.14)использовать критерий вида

считаться удовлетворительным, если все локальные критерии Q j ( X ) принимают отрицательные значения. Таким образом, задача векторной оптимизации УЦОС сведена к задаче скалярной оптимизации. В качестве целевой функции последней задачи выступает обобщенный критерий оптимальности, формируемый на основе совокупности локальных

где первые m1 функций должны уменьшаться, а остальные m2-m1 - увеличиваться.

Недостатками критериев вида (2.16), (2.17) являются [7, 10, 30, 48]: неограниченная возможность компенсации уменьшения качества по одному локальному критерию

95

увеличением качества по другому (другим), что в ряде случаев маскирует внутренние технические противоречия оптимизируемого УЦОС.

Данные недостатки устранимы при использовании максиминного обобщенного критерия. В максиминном критерии, предложенном в [54], вводятся запасы работоспособности, представляющие собой относительные (безразмерные) оценки выполнения каждого из условий работоспособности

величины неизвестны, ими надо задаваться исходя либо из предварительных расчетов, либо из опыта. Например, если путем расчетов или опытным путем установлено, что функция

Ошибка! Источник ссылки не найден..

Критерий (2.18) также, как и критерий Ошибка! Источник ссылки не найден., не является гладким, что существенно усложняет задачу оптимизации и требует применения специальных алгоритмов [54, 55]. В ряде случаев применяется подход, основанный на процедуре сглаживания критерия (2.20) с последующим обращением к методам гладкой оптимизации [3, 5, 7, 11, 28, 48].

Так как

то задача (2.20) эквивалентна задаче

96

Здесь к (2.21) применима среднестепенная свертка Ошибка! Источник ссылки не найден.. В результате приходим к следующему обобщенному критерию оптимальности:

На

Расчет частотных (временных)

Выбор номера обобщенного критерия оптимальности из базового набора

Нормирование

функций

ei X , , i 1, P

Расчет численного значения обобщенного

критерия

97

Ri=bi+Ri+1cos k T )-Ii+1sin k T ),

Ii=-Ri+1sin k T )+Ii+1cos k T ), i=n-1,…,1,0,

A(e-jkT)=R0 k T )+jI0 k T ).

По аналогии вычисляются значения полинома знаменателя

B(e-jkT)=K0 k T )+jL0 k T ).

Тогда значение АЧХ на частоте k вычисляется по формуле

а значение ФЧХ - по формуле:

Здесь для расчета АЧХ требуется выполнить только 8n операций умножения, где n -

порядок передаточной функции, и только два вычисления функций sin k T ) и cos k T )

независимо от n. Число операций умножения и вычисления этих функций непосредственно по соотношению Ошибка! Источник ссылки не найден. равно соответственно 4n и 2n. При реализации на ПЭВМ вычислений sin k T ) или cos k T ) требуется обращение к соответствующим подпрограммам, в которых обычно используется 3...4 члена разложения функции в ряд Тейлора, т. е. требуется в среднем восемь операций умножения.

Следовательно, при вычислении АЧХ звена цифрового фильтра второго порядка схема Горнера дает выигрыш в восемь операций умножения для каждого значения частоты. При увеличении порядка фильтра этот выигрыш существенно возрастает.

Рассмотрим еще один алгоритм приближенного расчета обобщенных критериев,

используемый в данной работе. Его применение тем более целесообразно, чем сложнее математическая модель УЦОС, расчет которой необходим для вычисления значения целевой

100

Q(X p) успешно аппроксимируется функцией Qp ( X p) . При этом функция Q(X p)

может и не обладать свойствами квадратичности.

2.3 Построение алгоритмов вычисления производных обобщенных

критериев оптимальности УЦОС

При решении задач оптимального проектирования УЦОС с использованием обобщенных критериев типа (2.14), (2.15) и (2.22) возникает необходимость расчета производных этих критериев. Для обобщенных критериев, заданных аналитически, можно воспользоваться аналитическими методами вычисления производных. Однако на практике такой подход имеет ограниченное применение, так как в конкретных задачах реальные обобщенные критерии имеют достаточно сложную структуру, не позволяющую воспользоваться аналитическим дифференцированием. Поэтому наряду с аналитическими на практике применяются также полуаналитические и численные методы. Следовательно, в

коллектив конкурирующих алгоритмов расчета производных обобщенных критериев типа

(2.14), (2.15) и (2.22) целесообразно включить алгоритмы, основанные на использовании аналитических, полуаналитических и численных методов.

Достоинства аналитических методов широко известны, однако область их применения достаточно ограничена. В основном они применяются при оптимальном проектировании широкополосных селективных УЦОС невысокого порядка.

Полуаналитические методы занимают промежуточное положение между аналитическими и численными методами построения производных. Эти методы основаны на использовании специальной структуры оптимизируемых обобщенных критериев и в этом смысле оказываются менее универсальными, чем численные методы. Область их применения занимает промежуточное положение между узкополосными и широкополосными селективными УЦОС. В силу универсальности и относительной простоты реализации численные методы расчета производных используются при решении задач оптимального проектирования узкополосных селективных УЦОС большой размерности. Таким образом,

основным критерием адаптации при проблемно – адаптивной организации подсистемы расчета производных обобщенных критериев является размерность вектора варьируемых параметров.

Общая схема алгоритмов расчета производных обобщенных критериев оптимальности УЦОС и их производных приведена на рис. 2.2.

101

Рассмотрим обобщенные критерии вида Ошибка! Источник ссылки не найден. и

(2.22), как наиболее характерные для задач оптимального проектирования УЦОС. Имеем следующие выражения для составляющих вектора градиента:

критерия может быть сведено к вычислению первых производных функций Ql . Таким образом, при оптимизации обобщенных критериев оптимальности УЦОС достаточно остро стоит проблема расчета их производных.

Рассмотрим вывод формулы вектора градиента для обобщенного критерия типа (2.14)

в случае, когда решается задача проектирования НЦФ и РЦФ. Для других случаев эти формулы выводятся аналогично. Компонентами вектора градиента, которые должны быть определены, являются Q( X ) / pn и Q( X ) / qn .

Принимая во внимание, что для НЦФ имеет место соотношение (2.23) и

продифференцировав в частных производных формулу Ошибка! Источник ссылки не найден. по pn и qn, а также произведя требуемые алгебраические преобразования, получим:

102