Методическое пособие 457

x1

2x2

2x3

3x5

0

3x1

5x2

x3

4x4

1

2x1

3x2

x3

4x4

3x5

1

1

2

2

0

3

0

14.

3

5

1

4

0

1

2

3

1

4

3

1

1

2

2

0

3

0

0

1

5

4

9

1

x1 , x

базис

0

0

0

0

0

0

1

2

2x3

3x5

. Пусть

0

1

5x3

4x4

9x5

1

x3 t1

, x4

t2 , x5

t3 , тогда

x

2

5t1

4t2

9t3

1

x1

8t1

8t2

15t3

2

Ответ : 8t1 8t2

15t3

2;5t1

4t2

9t3

1; t1 ; t2 ; t3

При t1

= t2 = t3 = 0 частное решение имеет вид (2;1;0;0;0).

15.

Найти координаты вектора x в базисе

e1

, e2

, e3 ,

если он задан в базисе

e1 , e2 , e3

x

1,

9,9

и

e1

e1

e2

8e3

e

8

e

e

.

2

9

1

2

e3

e1

e2

e3

Запишем матрицы, соответствующие координатам

рассматриваемых векторов.

1

1

8

1

9

X T 1 X

x

9

T

1

1

1

9

8

0

1

1

1

8

T T

8

1

0

9

1

1

1

1

8

1

T 1

9

9

det(T )

1

9 7

2

. Следовательно,

6

64

17

9

9

1

8

1

1

6

9

9

x

9

7

2

9

36

6

64

17

9

39

9

9

Ответ :

6;

36;

39 .

Ax x3

x

3

;2x 3x

2

4x

3

;5x 6x

2

7x

3

;

1

1

1

Bx

x1

x3 ;2x1

3x2

4x3 ;5x1

6x2

7x3 ;

Cx

x1

1;2x1

3x2

4;5x1

6x2

7x3

?

A( x)

3 x3

x

3

;2 x 3 x

2

4 x

3

;5 x 6 x

2

7 x

3

n Ax

1

1

1

преобразование не линейно;

B( x)

x1

x3 ;2 x1

3 x2

4 x3 ;5 x1

6 x2

7 x3

Bx

преобразование линейно;

C( x)

x

1;2

x

3

x

2

4;5

x

6 x

2

7 x

3

n Cx

1

1

1

преобразование не линейно.

Ответ: преобразование Bx является линейным.

17.

Пусть x

x1 ; x2 ; x3 , Ax

x2

x3 ; x1 ; x1

x3 ,

Bx x1 ;2x3 ; x1

. Найти B( A

B) x

Составим соответствующие матрицы.

0

1

1

0

1

0

A

1

0

0

B

0

0

2 ,

1

0

1

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

2

тогда B( A

B)

1

0

0

0

0

2

0

0

2 .

1

0

1

1

0

0

0

0

1

Следовательно,

B( A

B) x

x1

2x3 ;2x3 ;

x3 .

e1 ; e2

; e3

, где e1

e1 e2 e3 , e2

e1 e2 2e3 ,

e3

e1

2e2 e3

e1

e1

e2 e3

1

1

1

e2

e1

e2

2e3

T

1

1

2

,

det T 1,

e3

e1

2e2

e3

1

2

1

1

1

1

5

3

1

T T

1 1

2

T 1

3

2

1

. Тогда

1

2

1

1

1

0

5

3

1

2

0

1

1

1

1

A T 1 AT 3 2

1 1 1 1

1 1

2

1

1

0

0

2

1

1

2

1

13

1

9

1

1

1

21

30

2

8

0

6

1

1

2

14

20

2

3

1

2

1

2

1

4

6

1

21

30

2

Ответ: A

14

20

2

5

0

0

1

4

1

0

или

1

1

4

5

2

8

15

0

5

2

3

0

Если

=5, то

0

0

x

y

z

0

x

y z

x

y

z

0

b1

t1

t2 ; t1 ; t2

b2

t3

t4 ; t3 ; t4

Если

=3, то

2x

0

x 0

x y z 0

b3

0; t5 ; t5

y

z

x

y

z

0

b1

t1

t2 ; t1 ; t2

Ответ:

1=

2=5,

3=3, b2

t3

t4 ; t3 ; t4

b3

0; t5 ; t5

Оглавление

Введение.

4

Определители и их свойства.

5

Свойства определителей.

6

Решение систем линейных алгебраических уравнений.

8

Исследование однородных систем

10

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

12

Матрицы и действия над ними

12

Матричная запись и матричный метод решения систем

линейных уравнений.

15

Векторы и действия над ними.

16

Плоскость.

22

Прямая.

29

Кривые второго порядка на плоскости.

31

Канонические уравнения кривых второго порядка.

31

Канонические уравнения эллипса,

32

гиперболы и параболы. Эллипс

32

Гипербола

34

Парабола

36

Поверхности второго порядка.

37

Классификация центральных поверхностей второго

порядка.

38

Цилиндры второго порядка.

42

Линейные преобразования и матрицы

42

Линейные пространства.

48

Линейно независимые векторы.

49

Преобразование координат

51

при переходе к новому базису.

51

Подпространства, образованные решениями однородной

линейной системы уравнений.

52

Линейные Преобразования

53

Изменение матрицы оператора при переходе от одного

ортонормированного базиса к другому.

55

Действия над линейными преобразованиями.

56

Характеристические числа и собственные векторы

линейного преобразования.

58

Евклидово Пространство

65

Квадратичные формы

67

Квадратичные формы 2-х переменных, приведение их к

каноническому виду.

69

уравнения кривой второго порядка.

71

Исследование общего уравнения кривой по ее

коэффициентам.

73

74

Заключение.

87

Библиографический список

88