Методическое пособие 457

Доказательство приведем для матрицы второго

а1 и 2 - соответствующие им различные

действительные числа.

Вычтем из верхнего выражения нижнее и получим:

b2 Аb1 b1 Аb2 b2 1 b1 b1 2 b2 . Левая часть равна нулю, так как А – симметрическая матрица, а оператор А

самосопряжен, поэтому скалярное произведение можно

переписать в виде Ab2 b1 Ab1 b2 0 . Таким образом, левая часть равна нулю, следовательно и правая часть

произведение векторов b1 и b2 равно нулю, то есть

векторы перпендикулярны.

Вывод: Если матрица симметрическая, то можно говорить об ортогональном базисе, составленном из собственных векторов этой матрицы.

Пусть есть симметрическая матрица третьего порядка.

Если не все корни характеристического уравнения различны, кратность которых к , то иногда можно указать к линейно-независимых векторов, отвечающих этому собственному значению.

Теорема. Для того чтобы существовал базис из собственных векторов, оператора А необходимо и достаточно, чтобы каждому собственному значению соответствовало столько линейно независимых собственных векторов, какова его кратность. Число линейно-независимых векторов определяется как n – r , где n – размерность матрицы, а r – ее ранг.

Итак, каждому оператору в различном базисе соответствует различная матрица Мы хотим найти такой базис, в котором матрица оператора имела бы простейший вид, а именно диагональный.

В базисе из собственных векторов матрица оператора имеет диагональный вид , где на главной диагонали стоят собственные значения оператора.

0 0 ... n

Пример. Найти ортонормированный базис и привести к диагональному виду матрицу.

5 2 2

2 4 2

1.Составим характеристическое уравнение матрицы

этой системе первые два уравнения не пропорциональны,

пропорциональны первому, следовательно, переходим к

e3 находим как смешанное произведение e2 и e1 =

32 ; 32 ; 13 . Таким образом, в базисе из векторов матрица

3 0 0

имеет вид 0 6 0 . 0 0 6

Евклидово Пространство

Линейное пространство R называется евклидовым, если имеется правило, которое позволяет для каждых двух векторов х и у из R построить действительное число, называемое скалярным произведением векторов х и у и обозначаемое (х, у), причем это правило удовлетворяет следующим условиям:

1°. (х, у) = (у, х);

2°. (x, y+z)=(х, у)+(х, z);

Из условий 1°—4° следует, что:

а) (у+z, х)=(у, х)+(z, х); б) (х, у)= (х, у);

в) (0, х)=0 для любого вектора х.

Скалярное произведение любого вектора x R на себя называется скалярным квадратом вектора х.

Длиной вектора х в евклидовом пространстве называется квадратный корень из скалярного квадрата

вектор евклидова пространства, то |kх| = |k||х |.

Вектор, длина которого равна единице, называется

является нормированным вектором.

Для любых двух векторов х и у в евклидовом пространстве выполняется неравенство x, y 2 x, xy, y

называемое неравенством Коши—Буняковского. Равенство (х, у)2 = (х, х) (у, у) имеет место тогда и

только тогда, когда векторы х и у линейно зависимы.

Из неравенства Коши—Буняковского следует, что

углом между векторами х и у. Если х и у—ненулевые векторы, а / 2 , то (х, у) = 0. В этом случае говорят,

что векторы х и у ортогональны..

Для произвольных векторов х и у евклидова пространства имеют место следующие важные соотношения:

1. |х + у| |х]+|у| (неравенство треугольника). 2. Пусть ф—угол между векторами х и у; тогда

впоследнем равенстве у на -у, получаем

xy 2 x 2 y 2 (теорема Пифагора).

Квадратичные формы

Квадратичной формой действительных переменных

относительно этих переменных, не содержащий свободного члена и членов первой степени.

В дальнейшем все необходимые формулировки и определения приведем для квадратичной формы трех переменных.

Матрица

формы f (x1 , x2 ,..., xn ) , а соответствующий определитель — определителем этой квадратичной формы.

Так как А - симметрическая матрица, то корни 1 , 2 , 3 характеристического уравнения

являются действительными числами.

Формулы преобразования координат при переходе к новому ортонормированному базису имеют вид

Преобразовав с помощью этих формул квадратичную форму f (x1 , x2 ,..., xn ) , получаем квадратичную форму

f x1 , x2 , x3 1 x12 2 x22 3 x32

не содержащую членов с произведениями x1 x3 , x1 x3 , x2 x3 .

помощью ортогонального преобразования В. Рассуждения проводились в предположении, что характеристические числа 1 , 2 , 3 различны.

При решении задач будет показано, как следует поступать, если среди характеристических чисел имеются одинаковые.

Квадратичные формы 2-х переменных, приведение их к каноническому виду.

Определение: Квадратичной формой двух переменных K (x1 , x2 ) называется однородный многочлен второй степени вида

(1)

Определение: Однородным многочленом степени k называется многочлен, удовлетворяющий соотношению

Представим (1) в виде скалярного произведения. Поставим в соответствие этой квадратичной форме симметричную матрицу S, составленную из координат квадратичной формы.

Т.о. K (x1 , x2 ) (SX , X )

Посмотрим, как изменится координатная форма, а следовательно и матрица S при переходе к новому базису. Для этого воспользуемся следующей леммой.

Лемма: Если оператор А* сопряжен оператору А, то для любых x, y E - эвклидово пространство

числа матрицы S.

Найдем вид квадратичной формы в базисе из

квадратичной формы.

Чтобы привести квадратичную форму к каноническому виду (3), нужно:

1.По координатам квадратичной формы составить симметричную матрицу S.

2.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы S.

3.Записать квадратичную форму в каноническом виде

(3). Такой вид кв. форма будет иметь в базисе из собственных векторов.