Методическое пособие 457

симметрии. Ось OZ – ось эллиптического параболоида. Из уравнения (5*) следует, что эллиптический параболоид расположен в полуплоскости ZY. Линии пересечения

При увеличении h эллипсы бесконечно увеличиваются. Эллиптический параболоид представляет собой бесконечную чашу. Пусть плоскость x=h

вершина (0, 0, 0) переходит в точку (h, 0, h2 ) a2

Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид:

Плоскость XOZ и YOZ являются плоскостями симметрии. Ось OZ – ось гиперболического параболоида.

значения переменных x и у можно выразить линейно через значения переменных х' и y'. Эти равенства принято называть линейным преобразованием переменных х' и у'.

Их можно рассматривать также как линейное преобразование координат точки (или вектора) на плоскости. Таблица

называется матрицей рассматриваемого линейного преобразования, а определитель

Можно также рассматривать линейное преобразование трех переменных (т. е. для пространства)

вырожденной (особой). Матрицы

Для большей общности ряд определений будет дан для

условию атп = апт, матрица называется симметрической. Две матрицы

считаются равными (А=В) тогда и только тогда, когда

Произведением числа т на матрицу А называется матрица, определяемая равенством

Произведение двух матриц А и В обозначается символом

АВ и определяется равенством

т. е. элемент матрицы-произведения, стоящий в i-й строке и k-м столбце, равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки матрицы А и k-го столбца матрицы В. По отношению к произведению двух матриц переместительный закон, вообще говоря, не выполняется:

AB BA .

Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих, матриц.

Нулевой матрицей называется матрица, все

Сумма этой матрицы и любой матрицы А дает матрицу А: А+0 = А. Единичной матрицей называется матрица

Система уравнений

может быть записана в виде АХ = В, где

характеристическими числами матрицы; они всегда действительны, если исходная матрица является симметрической.

Система уравнений

определитель, которой в силу этого равен нулю,

до постоянного множителя определяет ненулевой вектор r 1i 2 j 3 k , называемый собственным вектором

матрицы.

Линейные пространства.

Основные понятия. Рассмотрим такое множество R элементов x, y, z …, в котором для любых двух элементов

элементов множества R и умножение элемента этого множества на действительное число удовлетворяет следующим условиям:

1.х + у = у + х;

2.( х + у ) + z = х + ( у + z );

у= - х, т. е. х + (- х ) = 0);

5.1 x 1;

то множество R называется линейным (или векторным) пространством, а элементы х, у, z, ... этого пространства - векторами.

Например, множество всех геометрических векторов является линейным пространством, так как для элементов этого множества определены действия сложения и умножения на число, удовлетворяющие сформулированным условиям.

Разностью двух векторов х и у линейного пространства называется такой вектор V этого пространства, что у + v = х. Разность векторов х и у

1.В каждом линейном пространстве существует только один нуль-элемент.

Линейно независимые векторы.

Пусть х, у, z, .., u. - какие-нибудь векторы линейного пространства R. Вектор, определяемый равенством

где , , ,..., действительные числа, также принадлежат

линейному пространству R. Этот вектор называется линейной комбинацией векторов х, у, z, ..,u . Пусть линейная комбинация векторов х, у, z, ..,u является нуль - вектором, т. е.

независимыми, если равенство (*) выполняется лишь при

... . Если же равенство (*) может выполняться и в том случае, когда не все числа

равны нулю, то говорят, что векторы х, у, z, ..,u линейно зависимы.

Легко доказывается, что векторы х, у, z, ..,u линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из этих векторов может быть представлен в виде линейной комбинации остальных векторов.

3. Размерность и базис линейного пространства. Если в линейном пространстве R имеется n линейно независимых векторов, но любые n + 1 векторов этого пространства линейно зависимы, то пространство R называют n-мерным. Принято также говорить, что размерность пространства R равна n, и писать d R n . Пространство, в котором

можно найти сколь угодно много линейно независимых векторов, называется бесконечномерным. Если R - бесконечномерное пространство, то d R .

Совокупность n линейно независимых векторов n- мерного линейного пространства называется базисом. Справедлива следующая теорема: каждый вектор линейного n-мерного пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной