Методическое пособие 457

виде

числа называются координатами вектора х в данном базисе.

Преобразование координат при переходе к новому базису.

Пусть в n-мерном линейном пространстве R0 имеются два

базиса: e1 , e2 ,...en (старый) и e1 , e2 ,...en (новый). Даны зависимости, выражающие каждый вектор нового базиса через векторы старого базиса:

называют матрицей перехода от старого базиса к новому.

( 1, 2,... n) его координаты в новом базисе. При этом

старые координаты вектора х выражаются через новые координаты этого вектора по формулам

.......... .......... .......... .......... .......... ..

n an1 1 an 2 2 .... ann n

которые называются формулами преобразования координат.

Нетрудно видеть, что столбцы матрицы А являются координатами в формулах перехода от старого базиса к новому, а строки этой матрицы—координатами в формулах преобразования старых координат через новые.

Подпространства, образованные решениями однородной линейной системы уравнений.

Рассмотрим однородную линейную систему уравнений

фундаментальной системой решений, если любое решение системы уравнений (*) может быть представлено в виде линейной комбинации векторов f1 , f 2 ,..., f n

Теорема о существовании и фундаментальной системы решении. Если ранг матрицы

меньше n, то система (*) имеет ненулевые решения. Число векторов, определяющих фундаментальную систему

всевозможные системы n действительных чисел, то совокупность всех решений системы (*) является

подпространством пространства R n . Размерность этого подпространства равна k.

Линейные Преобразования

1. Основные понятия. Будем говорить, что в линейном пространстве R задано преобразование А, если каждому

линейным, если для любых векторов х и у и для любого действительного числа А, выполняются равенства

А ( х + у ) = А х + А у, А ( х)= Ах.

Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует любой вектор х в самого себя. Тождественное линейное преобразование обозначается через Е. Таким образом, Ех = х.

2. Матрица линейного преобразования. Пусть в n-мерном линейном пространстве R, базис которого e1 , e2 ,...en ,

задано линейное преобразование А. Так как Ae1 , Ae2 ,...Aen

векторы пространства R, то каждый из них можно разложить единственным способом по векторам базиса:

называется матрицей линейного преобразования А в базисе e1 , e2 ,...en . Столбцы этой матрицы составлены из

коэффициентов в формулах преобразования базисных векторов. Возьмем в пространстве R какой-нибудь вектор

Эти n равенств можно назвать линейным преобразованием А в базисе e1 , e2 ,...en Коэффициенты в формулах этого линейного преобразования являются элементами строк матрицы А.

Изменение матрицы оператора при переходе от одного ортонормированного базиса к другому.

новом базисах соответственно. Тогда получим следующее соотношение Ty ATX . Получим y в чистом виде. Для этого умножим слева обе части равенства на Т-1.

T 1T y T 1 ATX

E

y T 1 ATX

Сравним полученное выражение с выражением для оператора в новом базисе:

A X T 1 ATX или

A T 1 AT

Найдем А через A . Умножим слева на Т, а справа на Т-1 и получим А ТА Т 1 , где Т – матрица перехода от старого базиса к новому.

Действия над линейными преобразованиями.

В приведенных ниже определениях примем следующие обозначения: А и В — произвольные линейные преобразования в линейном пространстве R, — произвольное действительное число, x R любой элемент.

1.Суммой линейных преобразований А и В называется

преобразование С1, определяемое равенством С1х=Ах+Вх. Обозначение: С1=А+В.

2.Произведением линейного преобразования А на число

называется преобразование С2, определяемое

равенством С2х= Ах. Обозначение. С2= А.

3.Произведением линейного преобразования А на линейное преобразование В называется преобразование

С3, определяемое равенством Сзх=АВх. Обозначение:

Сз=АВ.

4.Преобразования С1, С2 и С3 являются линейными. Матрицы линейных преобразований С1, С2 и С3

определяются из равенств С1=А+В., С2= А., Сз=АВ.

5.При сложении линейных преобразований выполняется переместительный закон: произведение же АВ, вообще говоря, отличается от произведения ВА.

Перечислим некоторые свойства операций над линейными преобразованиями в пространстве R:

A, B C A B,C , AE EA A , A B C AC BC ,

C A B CA CB .

Если для линейного преобразования А найдутся такие линейные преобразования В и С, что ВА=Е, АС=Е, то В=С.

образованием по отношению к линейному преобразованию

определитель матрицы этого преобразования отличен от нуля. Следует иметь в виду, что каждое невырожденное

то обратное линейное преобразование А-1 имеет вид

.......... .......... .......... .......... .......... ......

Здесь АIJ—алгебраическое дополнение элемента аij матрицы А, A определитель матрицы А.

Матрица линейного преобразования А-1 является обратной по отношению к матрице А и определяется равенством

Характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования.

собственным вектором линейного преобразования А, если найдется такое число , что выполняется равенство Аb = b. Само число называется характеристическим числом линейного преобразования А, соответствующим вектору b.

Перенесем правую часть налево, получим:

Ab b или A E b 0 .

Распишем полученное равенство покоординатно. Если линейное преобразование А в базисе e1 , e2 ,...en имеет матрицу

Система (*) однородная; Нас интересуют ненулевые решения, следовательно, для того, чтобы система имела

ненулевое решение нужно, чтобы определитель системы равнялся нулю

собственных чисел . В системе (*) подставим вместо число 1 и находим один из собственных векторов b1 .

Затем полагаем вместо число 2 и находим b2 - второй

собственный вектор., соответствующий второму собственному числу и так далее.

Пример. Найти собственные числа и собственные