Методическое пособие 457

условие параллельности прямой и плоскости:

условие перпендикулярности прямой и плоскости:

A B C

l m n

Кривые второго порядка на плоскости.

Канонические уравнения кривых второго порядка.

Общее уравнение кривых второго порядка имеет

группа старших

где A,B,C,D,E,F – const.

В зависимости от коэффициентов можно получить следующие виды кривых и их вырождения:

Канонические уравнения эллипса,

гиперболы и параболы. Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек F1 ( c,0)

Исследуем форму эллипса.

Уравнение эллипса содержит члены только с четными степенями текущих координат. Поэтому определенная им линия симметрична относительно Ox и Oy.

Выразим из (4) у как функцию от x.

Точки, в которых эллипс пересекает оси называются его вершинами ( A1 A2 , B1 B2 ) . Осями эллипса называются отрезки A1 A2 2a - большая полуось, B1 B2 2b - малая

полуось. Если фокусы эллипса расположены на оси абсцисс a>b. Если фокусы эллипса расположены на Oy (b>a), тогда уравнение эллипса имеет вид (4), уравнение

(3) имеет иной вид

Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек фокуса есть величина постоянная (разность берется по модулю), меньшая расстояния между фокусами.

Фокусы гиперболы F1 и F2 . Расстояние между

2a 2c a c

Определение: Прямая l называется асимптотой для графика функции y f (x) , если при движении точки М по кривой к бесконечности, расстояние от точки М до прямой

фокусами на оси ординат. Эта гипербола называется сопряженной с (7).

Гиперболы с равными полуосями а=b называются

гиперболы, чем меньше , тем больше вытянут ее основной прямоугольник вдоль действительной оси.

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости называется фокусом, а расстояние до некоторой прямой называется директриссой.

p 0 - каноническое уравнение параболы, ось которой

совмещена с Ох, она симметрична относительно Ох. – график находится в правой полуплоскости.

Поверхности второго порядка.

Определение: Поверхностью S второго порядка называется геометрическое место точек, декартовые прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

(1)

где по крайней мере один из коэффициентов при вторых степенях отличен от нуля. Это уравнение называется общим уравнением поверхности второго порядка.

Поверхность второго порядка называется центральной, если система

называется центром поверхности второго порядка. Очевидно, что поверхность второго порядка как

геометрический объект не меняется, если от данной системы координат перейти к другой системе.

С помощью преобразования п-ным переносом и поворотом оси уравнение (1) можно привести к виду

a11 0 , a22 0 , a33 0

Классификация центральных поверхностей второго порядка.

вещественным эллипсоидом. В противном случае – мнимым эллипсоидом.

Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид:

Из уравнения (1*) следует, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии эллипсоида, а начало координат – центром симметрии. a, b, c – называются полуосями эллипсоида и представляют собой длины отрезков от начала координатной плоскости до пересечения эллипсоида с осями координат.

Эллипсоид представляет собой ограниченную поверхность. Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостями, параллельными XOY.

Каждая из таких плоскостей определяется уравнением z = k = const.

Линия, которая получается в сечении z = h определяется двумя уравнениями.

Аналогичная картина имеет место при рассмотрении сечения, параллельного XOZ, YOZ.

Когда a = b = c = k, эллипсоид является сферой x 2 y 2 z 2 k 2

Если из 4-х коэффициентов a11 , a22 , a33 , a44 два

одного знака, а два другого, то поверхность называется однополосным гиперболоидом. Каноническое уравнение однополосного гиперболоида имеет вид:

Из уравнения (2*) следует, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии гиперболоида, а начало координат – центром симметрии.

Рассмотрим сечение плоскостями, параллельными

XOZ (y = 0):

Эта система определяет гиперболоид с полуосями a и c, симметричную относительно координатных осей OX, OY, пересекающую OX в точках (a, 0, 0) и (-a, 0, 0)

Если знак одного из 3-х коэффициентов a11 , a22 , a33

противоположен знаку остальных, то в этом случае поверхность называется двуполостным гиперболоидом. Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида имеет вид:

Двуполостный гиперболоид – поверхность, состоящая из 2-х отдельных поверхностей, каждая из которых имеет вид чаши.

Если a44 0 , то поверхность называется конусом

второго порядка. Каноническое уравнение вещественного конуса имеет вид:

Геометрической особенностью является то, что если некоторая точка М лежит на этой поверхности, то все точки прямой, которые проходят через начало координат и точка М, тоже принадлежит конусу. Это вытекает из того, что уравнение (4*) однородно. Такая поверхность называется конической или конусом. Прямые, из которых составлен конус называются образующими. Точка, через которую они проходят называется вершиной.