Методическое пособие 447

t-статистика [10] – величины, характеризующие степень значимости отдельных коэффициентов модели.

На t-статистике следует остановиться особо. Очень часто при построении регрессионной модели неизвестно, влияет тот или иной фактор x на y. Включение в модель факторов, которые не влияют на выходную величину, ухудшает качество модели. Вычисление t-статистики помогает обнаружить такие факторы. Приближенную оценку можно сделать так: если при n>>k величина t-статистики по абсолютному значению существенно больше трех, соответствующий коэффициент следует считать значимым, а фактор включить в модель, иначе исключить из модели. Таким образом, можно предложить технологию построения регрессионной модели, состоящую из двух этапов:

1)обработать пакетом "Регрессия" все имеющиеся данные, проанализировать значения t-статистики;

2)удалить из таблицы исходных данных столбцы с теми факторами, для которых коэффициенты незначимы и обработать пакетом "Регрессия" новую таблицу.

Для примера рассмотрим переменную x4. В справочнике по математической статистике t-критическое с (n-k-1)=6 степенями свободы и доверительной вероятностью 0,95 равно 1,94. Поскольку абсолютная величина t, равная 17,7 больше, чем 1,94, срок эксплуатации - это важная переменная для оценки стоимости здания под офис. Аналогичным образом можно протестировать все другие переменные на статистическую значимость. Ниже приводятся наблюдаемые t- значения для каждой из независимых переменных, представленных в табл. 8:

Таблица 8

Наблюдаемые t-значения

40

Все эти значения имеют абсолютную величину большую, чем 1,94; следовательно, все переменные, использованные в уравнении регрессии, полезны для предсказания оценочной стоимости здания под офис в данном районе.

Задания:

1. Построить зависимость количества выигранных голов от характеристик сыгранных игр на основе модели множественной регрессии.

2.Построить регрессионную модель и вычислить оценки для ее коэффициентов для исследования влияния на вес куриных окорочков ( переменная Y ) возраста куры ( переменная X ) и страны происхождения куры ( Америка, Канада ) по данным таблицы, показанной на рис. 13.

Рис. 13. Входные данные

Проверить значимость построенной регрессии и коэффициентов регрессии

Рекомендация. Введите в модель фиктивную переменную z, равную 1, если куры из Канады; 0, если куры из Америки.

3. С целью исследования влияния факторов 1– среднемесячного количества профилактических наладок автоматической линии и 2 – среднемесячного числа обрывов

41

нити на показатель y – среднемесячную характеристику качества ткани ( в баллах ) по данным 37 предприятий легкой промышленности были вычислены парные коэффициенты корреляции: 1= 0.105, 2= 0.024 и 12 1 2= 0.996.

Определить частные коэффициенты корреляции 1( 2) и2( 1) и оценить их значимость на уровне 0.05.

Контрольные вопросы:

1.Для каких целей используется регрессионный

анализ?

2.Что такое уравнение регрессии?

3.Какие типы регрессии существуют?

4.Что такое F – критерий Фишера?

5.Что такое t- статистика?

6.Что такое коэффициент детерминации?

7.Каким образом определяется коэффициент множественной корреляции Пирсона?

42

Практическое занятие № 7 Дисперсионный анализ результатов моделирования

Цель работы: Рассмотреть основные понятия и математический аппарат дисперсионного анализа результатов моделирования, получить практические навыки по решению задач.

Теоретические сведения

При обработке и анализе результатов моделирования часто возникает задача сравнения средних выборок. Если в результате такой проверки окажется, что математическое ожидание совокупностей случайных переменных {y(1)}, {y(2)}, …, {y(n)} отличается незначительно, то статистический материал, полученный в результате моделирования, можно считать однородным (в случае равенства двух первых моментов). Это дает возможность объединить все совокупности в одну и позволяет существенно увеличить информацию о свойствах исследуемой модели ММ, а следовательно, и системы S. Попарное использование для этих целей критериев Смирнова и Стьюдента для проверки нулевой гипотезы затруднено в связи с наличием большого числа выборок при моделировании системы. Поэтому для этой цели используется дисперсионный анализ [11].

Пример: Рассмотрим решение задачи дисперсионного анализа при обработке результатов моделирования системы в следующей постановке. Пусть генеральные совокупности случайной величины {у(1)}, {y(2)}, ..., {y(n)} имеют нормальное распределение и одинаковую дисперсию. Необходимо по выборочным средним значениям при некотором уровне значимости γ проверять нулевую гипотезу H0 о равенстве математических ожиданий. Выявим влияние на результаты моделирования только одного фактора, т.е. рассмотрим однофакторный дисперсионный анализ.

43

Допустим, изучаемый фактор x привел к выборке значений неслучайной величины Y следующего вида: y1, y2, ..., yk, где k – количество уровней х. Влияние фактора будем оценивать неслучайной величиной Dx, называемой факторной дисперсией [11]:

где y – среднее арифметическое значение величины Y.

Если генеральная дисперсия D[y] известна, то для оценки случайности разброса наблюдений необходимо сравнить D[y] с выборочной дисперсией Sв2, используя критерий Фишера (F-распределение). Если эмпирическое значение Fэ попадает в критическую область, то влияние фактора х считается значимым, а разброс значений х – неслучайным. Если генеральная дисперсия D[x] до проведения машинного эксперимента с моделью ММ неизвестна, то необходимо при моделировании найти ее оценку.

Пусть серия наблюдений на уровне yi имеет вид: уi1, уi2, …, yin,, где n – число повторных наблюдений на i-м уровне. Тогда на i-м уровне среднее значение наблюдений

Задача дисперсионного анализа состоит в том, чтобы разложить общую дисперсию D[у] на составляющие, связанные со случайными и неслучайными причинами [11].

44

Оценка генеральной дисперсии, связанной со случайными факторами,

при анализе средних значений на i-м уровне фактора, а остаточная дисперсия (дисперсия случайности) для средних значений в n раз меньше, чем для отдельных измерений, найдем точную оценку выборочной дисперсии:

Умножив обе части этого выражения на n, получим в правой части выборочную дисперсию Sв2, имеющую (k–1)-ю степень свободы. Влияние фактора х будет значимым, если при заданном γ выполняется неравенство Sв2/D0[y]>F1-γ. В противном случае влиянием фактора х на результаты моделирования можно пренебречь и считать нулевую гипотезу Н0 о равенстве средних значений на различных уровнях справедливой.

Таким образом, дисперсионный анализ позволяет вместо проверки нулевой гипотезы о равенстве средних значений выборок проводить при обработке результатов моделирования проверку нулевой гипотезы о тождественности выборочной и генеральной дисперсии.

Задания:

1. При уровне значимости α = 0,05 методом дисперсионного анализа проверить нулевую гипотезу о влиянии фактора на качество объекта на основании пяти измерений для трех уровней фактора Ф1 − Ф3. Расчетные данные представлены в табл. 9.

45

2. Рассмотрим выборочное обследование производительности труда рабочих одинаковых профессий на четырех однотипных заводах разных городов. Производительность выражена в относительных величинах по отношению к базовой, принятой за единицу. Требуется установить, существенно различаются производительности труда рабочих рассматриваемых профессий на четырех заводах. Исходные данные приведены в таблице. Принять уровень значимости, равным 0,05. Расчетные данные приведены в табл. 10.

Таблица 10

Расчетные данные

46

Контрольные вопросы:

1.Для какой цели используется дисперсионный

анализ?

2.В чем состоит задача дисперсионного анализа?

3.Что такое факторная дисперсия?

4.Что такое критерий Фишера?

5.В связи с чем затруднено использование критериев Смирнова и Стьюдента для проверки нулевой гипотезы?

6.В каком случае влияние фактора x является

значимым?

7.В чем состоит преимущество дисперсионного

анализа?

47

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Дынкин, Е. Б. Марковские процессы [Текст]: учебник / Е. Б. Дынкин. – М.: Физматлит, 1963. – 860 с.

2.Кемени, Дж. Конечные цепи [Текст]: учебник / Дж. Кемени, Дж. Снелл. – М.: Наука, 1970. – 273 с.

3.Клейнрок, Л. Теория массового обслуживания [Текст]: учебник / Л. Клейнрок. – М.: Машиностроение, 1979. – 432 с.

4.Бочаров, П. П. Теория массового обслуживания [Текст]: учебник / П. П. Бочаров, А. В. Печинкин. – М.: РУДН,

1995. – 530 с.

5.Вентцель, Е. С. Введение в исследование операций [Текст]: учебник / Е. С. Вентцель. – М.: Советское радио, 1964. – 623 с.

6.Нейман, Дж. Теория игр и экономическое поведение [Текст]: учебник / Дж. Нейман, О. Моргенштерн – М.: Наука, 1970. – 708 с.

7.Самаров, К. Л. Элементы теории игр [Текст]: метод. пособие / К. Л. Самаров. – М.: Резольвента, 2009. – 21 с.

8.Питерсон, Дж. Теория сетей Петри и моделирование систем [Текст]: учебник / Дж. Питерсон. – М.:

Мир, 1984. – 264 с.

9.Дрейпер, Н. Прикладной регрессионный анализ [Текст]: учебник / Н. Дрейпер, Г. Смит. – М.: Статистика, 1973.

–398 с.

10.Фёрстер, Э. Методы корреляционного и регрессионного анализа [Текст]: учебник / Э. Фёрстер, Б. Рёнц.

–М.: Финансы и статистика, 1981. – 302 с.

11.Кельтон, В. Д. Имитационное моделирование процессы [Текст]: учебник / В. Д. Кельтон, А. М. Лоу. – М.: Питер. – 846 с.

48