Методическое пособие 447

(позиции так же могут быть изображены в виде кружков, а переходы - прямоугольников). Ориентированные дуги соединяют позиции и переходы. Дуга, направленная от позиции к переходу, определяет позицию, которая является входом перехода [8]. Кратные входы в переход указываются кратными дугами из входных позиций в переход. Выходная позиция указывается дугой от перехода к позиции.

Рис. 7. Графическое изображение N-схемы

Анализ сетей Петри

Существует два метода анализа СП:

1.дерево достижимостей;

2.матричные уравнения.

Дерево достижимостей

Дерево достижимости представляет множество достижимости СП.

Каждая i-я вершина дерева связывается с расширенной разметкой µ(i). В расширенной разметке число меток в позиции может быть либо неотрицательным целым, либо бесконечно большим. Бесконечное число меток обозначим символом ω. Каждая вершина классифицируется или как граничная, терминальная, дублирующая вершина, или как внутренняя. Граничными являются вершины, которые еще не обработаны

29

алгоритмом. После обработки граничные вершины становятся либо терминальными, либо дублирующими, либо внутренними. Терминальные (пассивные) маркировки - это маркировки в которых нет разрешенных переходов. Дублирующие маркировки - это маркировки, ранее встречающиеся в дереве.

Алгоритм начинает свою работу с определения начальной разметки. До тех пор, пока имеются граничные вершины, они обрабатываются алгоритмом.

Пусть x - граничная вершина, которую необходимо обработать, и с которой связана разметка µ (x).

1.Если в дереве имеется другая вершина у, не являющаяся граничной, и с ней связана разметка µ(y)=µ(x), то вершина x дублируется.

2.Если для разметки µ(x) ни один из переходов неразрешим, т.е. µ(x) тупиковая разметка, то x терминальная вершина.

3.Для любого перехода tj, из множества T разрешенного в разметке µ(x) , создать новую вершину z дерева достижимости. Разметка µ (z), связанная с этой вершиной, определяется для каждой позиции pi следующим образом:

а) если µ (x)=ω, то µ (z) =ω;

б) если на пути от корневой вершины к x существует вершина у такая, что

y t j x , y x и y i x i , то z i ;

в) в противном случае µ (z i) =µ(x i).

Дуга, помеченная tj, направлена от вершины х к вершине z. Вершина x переопределяется как внутренняя, вершина z становится граничной. Когда все вершины дерева становятся терминальными, дублирующими или внутренними, алгоритм останавливается.

30

Замечания.

1)СП ограничена тогда и только тогда, когда символ ω отсутствует в дереве.

2)СП безопасна, если число фишек в каждой позиции не может превышать 1.

3)СП живая, если в дереве отсутствуют зацикливания

итупики.

Матричные уравнения

количество дуг идущих от перехода к позиции .

Пусть вектор ( ) −-вектор, содержащий нули везде, за исключением − й компоненты. Переход представляется m-вектором ( ).

Введем в рассмотрение матрицу , которая получается следующим образом:

где - транспонированная матрица . Пусть размерность С

где у и x - векторы, размерность которых равна n и m соответственно.

Вектор у, удовлетворяющий решению уравнения (22), все элементы которого положительны, называется р-цепью; p- цепь, все элементы которой больше нуля, называется полной p- цепью [8]. Аналогично на основе уравнения (23) определяются понятия t-цепи и полной t-цепи [8]. СП, для которой

31

существует полная p-цепь, называется инвариантной [1]. СП, для которой существует полная t-цепь, называется

последовательной [8].

Пример. Моделирование параллельной обработки запросов сервером базы данных. Сервер находится в состоянии ожидания до тех пор, пока от пользователя не поступит запрос, который он обрабатывает и отправляет результат пользователю. Он может обрабатывать одновременно два запроса с помощью двух своих процессорных элементов ПЭ1 и ПЭ2. Необходимо составить сеть Петри, моделирующую эту систему.

Решение: Условиями для такой системы являются: а1) ПЭ1 ждет; а2) ПЭ2 ждет;

б) запрос поступил и ждет; в1) ПЭ1 обрабатывает запрос; в2) ПЭ2 обрабатывает запрос; г) запрос обработан.

Событиями для этой системы являются:

1.Запрос поступил.

2.ПЭ1 начинает обработку запроса.

3.ПЭ1 заканчивает обработку запроса .

4.ПЭ2 начинает обработку запроса.

5.ПЭ2 заканчивает обработку запроса .

6.Результат обработки отправляется.

Для перечисленных событий можно составить следующую таблицу (табл. 7) их пред- и постусловий:

32

Сеть Петри, моделирующая эту систему, имеет вид, представленный на рис. 8:

Рис. 8. Сеть Петри, моделирующая систему

Задания:

1.Построить сеть Петри, моделирующую работу рабочей станции, обслуживающей группу пользователей. Пользователь присылает заявку на обработку задания. Если станция свободна, она начинает обработку задания. После выполнения задания станция передает обслуженную заявку, освобождается и либо начинает обрабатывать новую заявку ( если заявка поступила), либо ждет поступления новой заявки.

2.Требуется описать с помощью сети Петри

функционирование системы из предприятий , и . Предприятия и поставляют узлы 1 и 2 соответственно, а на предприятии происходит сборка, в каждый сборочный узел входит один узел 1 и два узла 2.

3. Требуется описать с помощью сети Петри процессы возникновения и устранения неисправностей в некоторой технической системе, состоящей из однотипных блоков; в запасе имеется один исправный блок; известны статистические

33

данные об интенсивностях возникновения отказов и длительностях таких операций, как поиск неисправностей, замена и ремонт отказавшего блока.

Контрольные вопросы:

1.Что такое сетевые модели?

2.Чем занимается формальная теория?

3.Чем занимается прикладная теория?

4.Каково назначение входной (выходной)

функции?

5.Что такое входные (выходные) позиции

перехода?

6.Что такое р-цепь?

7.Что такое полная р-цепь?

34

Практическое занятие № 6 Регрессионный анализ результатов моделирования

Цель работы: Рассмотреть основные понятия и математический аппарат регрессионного анализа результатов моделирования, получить практические навыки по решению задач.

Теоретич еские сведения

Регрессионный анализ позволяет получить функциональную зависимость между некоторой случайной величиной Y и некоторыми влияющими на Y величинами X. Такая зависимость получила название уравнения регрессии [9]. Различают простую (парную) и множественную регрессию линейного и нелинейного типа.

Для оценки степени связи между величинами используется коэффициент множественной корреляции R Пирсона (корреляционное отношение), который может принимать значения от 0 до 1. R=0 если между величинами нет никакой связи и R=1, если между величинами имеется функциональная (детерминированная) связь. В большинстве случаев R принимает промежуточные значения от 0 до 1. Величина R2 называется коэффициентом детерминации.

Задачей построения регрессионной зависимости является нахождение вектора коэффициентов M модели (25) при котором коэффициент R принимает максимальное значение.

Для оценки значимости R применяется F-критерий Фишера, вычисляемый по формуле

35

где n - размер выборки (количество экспериментов); k - число коэффициентов модели. Если F превышает некоторое критическое значение для данных n и k и принятой доверительной вероятности, то величина R считается существенной. Таблицы критических значений F приводятся в справочниках по математической статистике.

Таким образом, значимость R определяется не только его величиной, но и соотношением между количеством экспериментов и количеством коэффициентов (параметров) модели. Действительно, корреляционное отношение для n=2 для простой линейной модели равно 1 (через 2 точки на плоскости можно всегда провести единственную прямую). Однако, если экспериментальные данные являются случайными величинами, доверять такому значению R следует с большой осторожностью. Обычно для получения значимого R и достоверной регрессии стремятся к тому, чтобы количество экспериментов существенно превышало количество коэффициентов модели (n>>k).

Для построения линейной регрессионной модели в табличном редакторе Excel необходимо:

1)подготовить список из n строк и m столбцов, содержащий экспериментальные данные (столбец, содержащий выходную величину y должен быть либо первым, либо последним в списке);

2)обратиться к меню Сервис/Анализ данных/Регрессии, как показано на рис. 9. [10].

Рис. 9. Обращение к инструменту «Регрессия»

36

Если пункт «Анализ данных» в меню «Сервис» отсутствует, то следует обратиться к пункту "Надстройки" того же меню и установить флажок «Пакет анализа».

3) в диалоговом окне «Регрессия» задать:

входной интервал Y;

входной интервал X;

выходной интервал - верхняя левая ячейка интервала,

вкоторый будут помещаться результаты вычислений (рекомендуется разместить на новом рабочем листе);

Пример ввода данных показан на рис. 10.

Рис. 10. Пример ввода данных в инструмент «Регрессия»

3)нажать «Ok» и проанализировать результаты.

Пример: Предположим, что застройщик оценивает

стоимость группы небольших офисных зданий в традиционном деловом районе. Застройщик может использовать множественный регрессионный анализ для оценки цены офисного здания в заданном районе на основе следующих переменных.

y - оценочная цена здания под офис;

x1 - общая площадь в квадратных метрах;

37

x2 - количество офисов;

x3 - количество входов (0,5 входа означает вход только для доставки корреспонденции);

x4 - время эксплуатации здания в годах.

В этом примере предполагается, что существует линейная зависимость между каждой независимой переменной (x1, x2, x3 и x4) и зависимой переменной (y), то есть ценой здания под офис в данном районе. Исходные данные показаны на рис. 11.

Рис. 11. Входные данные

Настройки для решения поставленной задачи показаны на рисунке окна "Регрессия". Результаты расчетов размещены на рис. 12.

38