Методическое пособие 447

Практическое занятие № 4 Моделирование на базе теории игр

Цель работы: Рассмотреть основные понятия и математический аппарат моделирования на базе теории игр, получить практические навыки по решению задач.

Теоретические сведения

Стандартная ТЗ [6] определяется как задача разработки наиболее экономичного плана перевозки продукции одного вида из нескольких пунктов отправления в пункты назначения. При этом величина транспортных расходов прямо пропорциональна объему перевозимой продукции и задается с помощью тарифов на перевозку единицы продукции.

Входные параметры модели ТЗ:

-n – количество пунктов отправления;

-m – количество пунктов назначения;

- С – транспортные расходы на перевозку всей продукции [руб.].

19

Этапы построения модели транспортной задачи:

-определение переменных;

-проверка сбалансированности задачи;

-построение сбалансированной транспортной

матрицы;

-задание целевой функции;

-задание ограничений.

Модель транспортной задачи задается в следующем

виде:

Целевая функция [6] представляет собой транспортные расходы на осуществление всех перевозок в целом. Первая группа ограничений указывает, что запас продукции в любом пункте отправления должен быть равен суммарному объему перевозок продукции из этого пункта. Вторая группа ограничений указывает, что суммарные перевозки продукции в некоторый пункт потребления должны полностью удовлетворить спрос на продукцию в этом пункте. Наглядной формой представления модели ТЗ является транспортная матрица (табл. 2).

20

Таблица 2

Общий вид транспортной матрицы

Из модели (14) следует, что сумма запасов продукции во всех пунктах отправления должна равняться суммарной потребности во всех пунктах потребления, то есть

Если условие (15) выполняется, то ТЗ называется

сбалансированной [7], в противном случае –

несбалансированной [7]. Поскольку ограничения модели (14) могут быть выполнены только при сбалансированной ТЗ, то при построении транспортной модели необходимо проверять условие баланса (15). В случае, когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, необходим дополнительный фиктивный пункт потребления, который будет формально потреблять существующий излишек запасов, то есть

21

Если суммарные потребности превышают суммарные запасы, то необходим дополнительный фиктивный пункт отправления, формально восполняющий существующий недостаток продукции в пунктах отправления:

перевозок. Поскольку нас интересует определение наиболее выгодных реальных перевозок, то необходимо предусмотреть, чтобы при решении задачи (при нахождении опорных планов) фиктивные перевозки не рассматривались до тех пор, пока не будут определены все реальные перевозки. Для этого надо фиктивные перевозки сделать невыгодными, то есть дорогими, чтобы при поиске решения задачи их рассматривали в самую последнюю очередь. Таким образом, величина фиктивных тарифов должна превышать максимальный из реальных тарифов, используемых в модели, то есть

На практике возможны ситуации, когда в определенных направлениях перевозки продукции невозможны, например, по причине ремонта транспортных магистралей. Такие ситуации моделируются с помощью введения так называемых

запрещающих тарифов cijз . Запрещающие тарифы должны

сделать невозможными, то есть совершенно невыгодными, перевозки в соответствующих направлениях. Для этого величина запрещающих тарифов должна превышать

22

Пример 1. Пусть необходимо организовать оптимальные по транспортным расходам перевозки продукции с двух складов к трем потребителям. Ежемесячные запасы продукции на складах равны 120 и 180 т, а ежемесячные потребности покупателей составляют 70, 140 и 90 т соответственно. Транспортные расходы по доставке продукции представлены в табл. 3. Найти оптимальный план перевозок.

Таблица 3 Транспортные расходы по доставке 1 т продукции (тыс. руб.)

которое будет перевезено с i-го склада к j-му потребителю. Проверим задачу на сбалансированность: суммарное наличие на складах = 120 + 180 = 300 т;

суммарная потребность в продукции = 70 + 140 + 90 =

300 т.

Из этого следует, что данная ТЗ сбалансирована. Сбалансированная транспортная матрица представлена в

табл. 4.

23

Целевая функция, то есть суммарные затраты на все возможные перевозки продукции, учитываемые в модели, задается следующим выражением:

следующую систему неравенств:

120 u v 0;

70 u 0;140 v 0;

u v 30 0;u 0;

v 0.

24

Для того чтобы найти в первой четверти плоскости Оuv множество точек, координаты которых удовлетворяют указанным выше неравенствам, необходимо сначала построить следующие прямые:

120 u v 0,

70 u 0,

140 v 0,

u v 30 0.

Неравенства (8) определяют на плоскости (v, u)

пятиугольник с вершинами: (0, 30), (0, 70), (50, 70), (120, 0), (30, 0) (см. рис. 1). Линейная функция F = f(u, v) достигает наименьшего значения в одной из вершин этого пятиугольника.

Нетрудно убедиться в том, что F = Fmin = 1690 при u = 0, v = 120. Следовательно, мы нашли оптимальный план перевозок:

25

150 140 130 120 110 100 90

80 u 70

60 50 40 30 20 10 0

Рис. 6. Графический метод решения транспортной задачи

Задания:

1. Планируется праздник города. Администрация решает где его провести – на открытом воздухе или в здании городского театра. Финансовый результат праздника зависит от погоды, которая будет в тот день. По данным Гидрометцентра вероятность дождя – 40 %. Найти оптимальное решение

(табл. 5).

Таблица 5 Прибыль города при различных вариантах проведения

праздника (тыс. руб.)

26

2. Фирма решает, какое по размеру построить предприятие: малое, среднее или крупное. Ожидаемая прибыль зависит от будущего спроса на выпускаемую продукцию. Найти оптимальное решение (табл. 6).

Контрольные вопросы:

1.Что такое стандартная транспортная задача (ТЗ)?

2.Перечислите входные и выходные параметры

модели ТЗ.

3.Что представляет собой целевая функция?

4.Назовите этапы построения модели транспортной

задачи.

5.Начертите пример общего вида транспортной

матрицы.

6.Напишите в каком виде задается модель транспортной задачи.

7.В каком случае ТЗ называют сбалансированной?

27

Практическое занятие № 5 Моделирование на основе сетей Петри

Цель работы: Рассмотреть основные понятия и математический аппарат моделирования на основе сетей Петри, получить практические навыки по решению задач.

Теоретические сведения

Сетевые модели [8] (сети Петри) используются для решения задач, связанных с формализованным описанием и анализом причинно-следственных связей в сложных системах, где одновременно параллельно протекает несколько процессов.

Развитие теории сетей Петри проводилось по двум направлениям. Формальная теория [8] сетей Петри занимается разработкой основных средств, методов и понятий, необходимых для применения сетей Петри. Прикладная теория [8] сетей Петри связана главным образом с применением сетей Петри к моделированию систем, их анализу и получающимся в результате этого глубоким проникновением в моделируемые системы.

Представление сетей Петри основано на 2 понятиях: событие и условие [8]. Возникновением события управляет состояние системы. Состояние системы может быть описано множеством условий.

В сети Петри событиям соответствуют переходы, а условиям – позиции. Связи переходов и позиций задаются входными и выходными функциями. Входная функция отображает переход во множество позиций, называемых

входными позициями перехода [8]. Выходная функция

отображает переход во множество позиций, называемых

выходными позициями перехода [8].

Графически N-схема изображается в виде двудольного ориентированного мультиграфа, который представляет собой позиции и переходы (рис. 7). Граф имеет два типа узлов: позиции и переходы, изображающиеся 0 и 1 соответственно

28