Методическое пособие 447
.pdfФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»
Кафедра систем информационной безопасности
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к практическим занятиям по дисциплине «Моделирование систем и сетей телекоммуникации» для студентов специальности
090302 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем» очной формы обучения
Воронеж 2015
Составители: д-р техн. наук К. А. Разинкин, Д. А. Никулин
УДК 681.326
Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Моделирование систем и сетей телекоммуникации» для студентов специальности 090302 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем» очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. К. А. Разинкин, Д. А. Никулин. Воронеж, 2015. 49 с.
Методические указания предназначены для студентов третьего курса, выполняющих практические занятия по изучению моделированию систем и сетей телекоммуникации.
Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS Word 2013 и содержатся в файле Никулин_ПЗ_МСиСТ.pdf.
Ил. 13. Табл. 10 . Библиогр.: 11 назв.
Рецензент д-р техн. наук, проф. А. Г. Остапенко
Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. А. Г. Остапенко
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
© ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2015
Практическое занятие № 1 Моделирование по схеме Марковских процессов
Цель занятия: Рассмотреть основные понятия и математический аппарат теории Марковских процессов, получить практические навыки по решению задач.
Теоретические сведения
Пусть имеется некоторая система S, которая в процессе функционирования может принимать различные состояния Si, i=1..n. Если состояния системы меняются случайным образом, то последовательность состояний системы образует
случайный процесс. [1]
Случайный процесс, протекающий в системе S, называется марковским, если для любого момента времени t0 вероятность любого состояния системы при t>t0 зависит только от ее состояния при t=t0 и не зависит от того, как и когда система пришла в это состояние. Если число состояний Si, которые система может принимать конечно, то такие системы описывает марковский случайный процесс с дискретными состояниями, или марковская цепь [1].
Если переходы системы из одного состояния в другое возможны в строго определенные, заранее фиксированные моменты времени tj, то такую систему описывает марковский случайный процесс с дискретным временем [1]. Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и дискретным временем называют дискретной марковской цепью [1].
Обычно марковскую цепь изображают в виде графа, вершины [2] которого соответствуют возможным состояниям системы Si, а дуги [2] – возможным переходам системы из состояния Si -> Sj. Каждой дуге соответствует переходная вероятность Pij(k)=P[Sj(k)/Si(k-1)] – это условная вероятность перехода системы на k-ом шаге в состояние Sj при условии, что на предыдущем (k-1)-ом этапе система находилась в состоянии Si.
Марковская цепь называется однородной [2], если переходные вероятности не зависят от номера шага. Если переходные вероятности меняются от шага к шагу, марковская цепь называется неоднородной [2].
Полным описанием однородной марковской цепи служит матрица переходных вероятностей
Для неоднородной марковской цепи требуется k матриц, где k - число шагов.
Определим для однородной марковской цепи вероятности всех состояний системы на каждом шаге по заданной матрице переходных вероятностей |Pij|, причем известно начальное состояние системы.
Пусть в начальный момент t0 система находится в состоянии Si. Тогда Pi(0)=1, Pj(0)=0, j=1,2,..,n, j≠i. Найдем вероятности состояний после 1-го шага P1(1)=Pi1, P2(1)=Pi2, ..., Pj(1)=Pij, ...,Pn(1)=Pin. Найдем вероятность состояний после 2-го шага, рассматривая следующий набор гипотез:
-после 1-го шага система была в состоянии S1;
-после 1-го шага система была в состоянии S2;
.............................................
-после 1-го шага система была в состоянии Sn. Вероятности гипотез известны и равны вероятностям
состояний системы после 1-го шага.
Тогда по формуле полной вероятности:
P1(2)=P1(1)*P11+P2(1)*P21+...+Pn(1)*Pn1; P2(2)=P1(1)*P12+P2(1)*P22+...+Pn(1)*Pn2;
.......................................
Pi(2)=∑=1[P (1) P ], = ̅̅̅̅̅̅1. . /
2
Аналогично после 3-го шага вероятности определяются
выражением |
|
|
̅̅̅̅̅̅ |
Pi(3) = ∑=1[P (2) P ], |
= 1. . . |
После k-го шага |
|
|
̅̅̅̅̅̅ |
Pi(k) = ∑=1[P (k − 1) P ], |
= 1. . . |
Марковские цепи подразделяются на эргодические [1] и
разложимые [1].
Разложимые марковские цепи содержат невозвратные состояния, называемые поглощающими. Из поглощающего состояния нельзя перейти ни в какое другое. На графе поглощающему состоянию соответствует вершина, из которой не выходит ни одна дуга. В установившемся режиме поглощающему состоянию соответствует вероятность, равная 1.
Эргодические марковские цепи описываются сильно связанным графом. Это означает, что в такой системе возможен переход из любого состояния Si в любое состояние Sj (i,j=1..n) за конечное число шагов.
Для эргодических цепей при достаточно большом времени функционирования (t стремится к бесконечности) наступает стационарный режим [1], при котором вероятности Pi состояний системы не зависят от времени и не зависят от распределения вероятностей в начальный момент времени, т.е.
Pi=const.
Каждая компонента Pi вектора таких стационарных вероятностей характеризует среднюю долю времени, в течение которого система находится в рассматриваемом состоянии Si за время наблюдения, измеряемое k шагами.
Для определения стационарных вероятностей Pi нахождения системы в состоянии Si (i=1..n) нужно составить систему n линейных однородных алгебраических уравнений с n неизвестными:
|
̅̅̅̅̅̅ |
(1) |
Pi= ∑=1[P P ] = 1. . |
Причем, искомые вероятности должны удовлетворять условию:
3
|
∑ |
P = 1; |
|
|
=1 |
|
|
или, что равносильно |
|
|
|
Pi=1- ∑ |
P , причем j=1, j≠i |
(2) |
|
=1 |
|
|
|
Поэтому любое уравнение системы (1) можно заменить |
|||
уравнением (2). |
|
|
|
Систему линейных |
алгебраических уравнений |
(1) |
удобно составлять непосредственно по размеченному графу состояний. При этом в левой части уравнения записывается вероятность состояния, соответствующего рассматриваемой вершине графа, а в правой части - сумма произведений. Число слагаемых соответствует числу дуг графа, входящих в рассматриваемое состояние. Каждое слагаемое представляет произведение вероятности того состояния, из которого выходит дуга графа, на переходную вероятность, которой помечена соответствующая дуга графа.
Пример 1. Центральный процессор мультипрограммной системы в любой момент времени выполняет либо программы пользователя, либо программы операционной системы, либо находится в состоянии ожидания.
Продолжительность нахождения системы в каждом состоянии кратна длительности шага ∆t.
Определить коэффициент использования процессора, если задана матрица вероятностей переходов из одного состояния в другое (табл. 1).
Таблица 1
Матрица вероятностей перехода
i |
j |
S1 |
S2 |
S3 |
S1 |
|
0.7 |
0.2 |
0.1 |
S2 |
|
0.8 |
0.1 |
0.1 |
S3 |
|
0.8 |
0.05 |
0.15 |
S1 - состояние, в котором реализуются задачи пользователя;
4
S2 - состояние, в котором реализуются программы операционной системы;
S3 - состояние простоя.
Граф функционирования системы имеет вид, представленный на рис. 1:
Рис. 1. Граф функционирования системы
Составим для установившегося режима систему
линейных алгебраических уравнений.
Р1 = 0,7P1 + 0,8P2 + 0,8P3; {Р2 = 0,2P1 + 0,1P2 + 0,05P3; Р3 = 0,1P1 + 0,1P2 + 0,15P3;
P1 + P2 + P3 = 1.
В результате решения получаем значение вероятностей
состояния в установившемся режиме:
Р1 = 0,749; {Р2 = 0,154; Р3 = 0,097.
Коэффициент простоя процессора Кп = Р3 = 0,097. Коэффициент использования Ри = 1 - Кп = 0,903, при
этом на обработку программ пользователя затрачивается 74,3% времени, а на обслуживание операционной системы - 15,4%.
5
Задания:
1.Задана матрица 1 = ‖00..43 00..67‖ вероятностей
перехода дискретной цепи Маркова из i-го состояния в j-ое за один шаг (i, j=1, 2). Распределение вероятностей по состояниям в начальный момент t = 0 определяется вектором = (0,1; 0,9). Найти матрицу Р2 перехода цепи из состояния i в состояние j за два шага и распределение вероятностей по состояниям в момент t=2.
2. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг. Найти матрицу перехода данной цепи за
три шага. 1 |
= ‖0.2 |
0.8‖ |
|
0.4 |
0.5 |
Контрольные воп росы:
1.Что такое случайный процесс?
2.Какой процесс называется марковским?
3.В каком случае марковскую цепь можно назвать однородной?
4.Что такое дискретный марковский процесс?
5.Что нужно для определения стационарных вероятностей Pi нахождения системы в состоянии Si?
6.Что такое эргодические марковские цепи?
7.Что такое разложимые марковские цепи?
6
Практическое занятие № 2 Модели систем массового обслуживания
Цель занятия: Рассмотреть основные понятия и математический аппарат систем массового обслуживания, получить практические навыки по решению задач.
Теоретические сведения
При рассмотрении телекоммуникационных систем часто возникает ряд однотипных задач: оценка пропускной способности системы связи; оценка эффективности системы; определение количества частот для радиосети и др.
Все эти задачи однотипны в том смысле, что в них присутствует массовый спрос на обслуживание. В удовлетворении этого спроса участвует определенная совокупность элементов, образующая систему массового обслуживания (СМО) [3] (см. рис. 2).
Рис. 2. Система массового обслуживания
Элементами СМО являются:
1)входной (входящий) поток требований (заявок) на обслуживание;
2)приборы (каналы) обслуживания;
3)очередь заявок, ожидающих обслуживания;
4)выходной (выходящий) поток обслуженных заявок;
7
5)поток не обслуженных заявок;
6)очередь свободных каналов (для многоканальных
СМО).
Поток событий [3] – это последовательность событий, происходящих одно за другим в случайные моменты времени.
Поток называют стационарным [3], если вероятность появления некоторого числа событий в какой-то промежуток времени зависит только от величины временного промежутка.
Поток событий называют потоком без последействия
[3], если для любых не перекрывающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.
Поток событий называют ординарным [4], если вероятность попадания на элементарный участок t двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.
Если поток обладает всеми тремя свойствами, он называется простейшим (пуассоновским) [4].
Время обслуживания (как и время между поступлениями в систему обслуживания), когда поток обслуживания (или поступления в систему) обладает этими тремя свойствами, распределено по экспоненциальному закону
g(t) = μe–μt, |
(3) |
где μ – параметр, величина, обратная среднему времени обслуживания одной заявки: μ = 1/mt обсл.
Величина λ должна быть меньше, чем μ, иначе очередь будет расти до бесконечности по геометрической прогрессии.
Когда входящий поток – пуассоновский, а время обслуживания распределено по экспоненциальному закону,
при одном приборе |
обслуживания, |
система обозначается |
М/М/1. Буква G |
в обозначении |
системы массового |
обслуживания означает произвольное распределение, Ek – распределение Эрланга порядка k, D – детерминированный поток (равные промежутки времени между поступлениями требований в систему или применительно к прибору обслуживания – неслучайное и одинаковое время
8