Контрольные вопросы

1. Может ли функция, график которой ограничивает фигуру, иметь разрывы? Как в таких случаях вычислять пло­щадь фигуры?

2. Как вывести формулу для вычисления площади фи­гуры, ограниченной кривой, имеющей параметрические урав­нения, зная формулу для вычисления площади в декартовых координатах?

3. Объясните порядок расстановки пределов в формуле (6.1) .В каких случаях ?

4. Как вычислить площадь, если y{t) < 0 ?

5. Докажите возможность применения формулы (6.1) для вычисления площади фигуры, ограниченной замкнутой кривой.

6. Почему в примере 1 искомая площадь находится как разность двух площадей?

7. Как вывести формулу (6.2) для вычисления площади криволинейного сектора, используя формулу для вычисления площади треугольника по двум сторонам и углу между ними?

8. Объясните порядок расстановки пределов в формуле (6.2).Может ли быть ?

9. Почему в примере 3 площадь находится как разность двух площадей?

10. Почему в примерах 4 и 5 искомая площадь находит­ся как сумма двух площадей?

11. Для чего необходимо искать точки пересечения кривых, ограничивающих фигуру?

12. Зачем определяется интервалы полярных углов для заданных кривых? Как правильно записать эти интервалы?

6. Применения преобразования Лапласа

6.1. Решение линейных дифференциальных урав­нений с постоянными коэффициентами

Найти решения следующих дифференциальных уравнений при начальных условиях :

1. ;

3. ;

5. ;

7. ;

2. ;

4. ;

6. ;

8. ;

6.2. Решение систем линейных дифференциаль­ных уравнений с постоянными коэффициентами

Пример 1. Найти частное решение системы уравнений:

;

Решение. Пусть

Переходя от оригиналов к изображениям, получаем

с учетом начальных условий .

Решая алгебраическую систему уравнений относительно и , находим

Воспользовавшись теоремой разложения ( или просто разложив правые части обычными методами) , получим

Найти частные решения систем уравнений при начальных условиях

1. ; 2.

6.3. Решение интегральных уравнений Вольтерра с ядрами специального вида

Интегральным уравнением называется уравнение, содержащее искомую функцию под знаком интеграла. Если искомая функция входит в уравнение линейно, то интегральное уравнение называется линейным. Методами опе­рационного исчисления весьма просто решаются интегральные уравнения Вольтерра первого и второго рода в том случае, когда ядро уравнения - функция K(x,t) - зависит от разности аргументов, т.е.

Соответствующие интегральные уравнения имеют вид

; (19) (20)

В обоих случаях функция - неизвестная, а и - известные функции – оригиналы.

Уравнения (19) и (20) называются уравнениями типа свертки. Пусть

Применяя к обеим частям (20) преобразования Лапласа и пользуясь формулой свертки, будем иметь

,

откуда

. (21)

Аналогично для (19) получим

. (22)

Пример 2. Решить интегральное уравнение

.

Решение. Переходя к изображениям и рассматривая интеграл как свертку функций, получаем

откуда

или

.

Следовательно ,

Пример 3. Решить интегральное уравнение

.

Решение.

.

Отсюда получаем

Следовательно,

Решить интегральные уравнения:

1. ; 2. ;

3. ; 3. ;

5. ; 4. .

.