2.3. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах

а) Цилиндрические координаты

В цилиндрических координатах положение точки М в пространстве определяется следующим образов:

Точка М проектируется на плоскость ХОУ и определяются полярные координаты r и  ее проекции.

Третьей цилиндрической координатой является расстояние точки М от плоскости ХОУ, т.е. ее аппликата z (рис. 2.5). Область изменения цилиндрических координат определяется неравенствами: z > 0, .

Рис. 2.5

Формулы, связывающие прямоугольные координаты и цилиндрические координаты точки имеют вид:

x = r cos , y = r sin , z = z (2.17)

В цилиндрических координатах элемент объема:

dV = r dz d dz (2.18)

Для того, чтобы тройной интеграл преобразовать к цилиндрическим координатам, надо х, у и z в подынтегральной функции заменить по формулам (2.17), а элемент объема dxdydz по формуле (2.18). После этого тройной интеграл вычислить тремя последовательными интегрированиями.

б) Сферические координаты

В сферических координатах положение точки М в пространстве, определяется тремя числами , , ,

Рис. 2.6

где  - расстояние точки М от начала координат

Точка М проектируется на плоскость ХОУ в точку М₁. Угол , составленный ОМ₁ и осью ОХ является второй сферической координатой точки М. Он отсчитывается от оси ОХ против часовой стрелки может изменяться от 0 до 2. Третьей сферической координатой является угол  между осью OZ и ОМ (0    ).

Формулы, связывающие прямоугольные координаты точки и ее сферические координаты имеют вид:

(2.19)

В сферических координатах элемент объема:

. (2.20)

Для того, чтобы тройной интеграл преобразовать к сферическим координатам надо x, y и z заменить в подынтегральной функции по формулам (2.19), а элемент объема dxdydz по формуле (2.20). После того вычислить его тремя последовательными интегралами (порядок интегрирования безразличен). Заметим, что переход к сферическим координатам особенно удобен в том случае, когда областью интегрирования является шар (или часть шара) или подынтегральная функция содержит в себе выражение вида x² + y² + z², так как в сферических координатах x² + y² + z² = ².

Примеры решения задач/

Задача 2.6. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: x²+y²+z²–2z=0 и x²+y²=2–z.

Рис. 2.7

Решение. Первая поверхность сфера. Преобразуем уравнение сферы к виду x²+y²+(z–1)²=1. Откуда видно, что центр сферы находится на оси OZ в точке (0, 0, 1), а ее радиус равен 1. Вторая поверхность – параболоид вращения (рис. 2.7).

Найдем уравнение линии, по которой пересекаются эти поверхности. Этой линией является окружность. Определим, на какой высоте над плоскостью ХОУ расположена эта линия.

Для этого из второго уравнения подставим значение

x²+y²=2–z в первое уравнение, получим (2–z)²+z²–2z=0 или

z²–3z+2=0. Решая его, получим z₁ = 1, z₂ = 2. Точка, в которой z = 2 – это вершина параболоида, поэтому линия пересечения поверхностей находится на высоте z = 1 над плоскостью ХОУ. Уравнение этой линии получим, подставляя z = 1 в уравнение любой из этих поверхностей.

Оно имеет вид .

Это окружность, она проектируется на плоскость ХОУ в окружность x² + y² = 1, а все тело проектируется в круг D_ХОУ, ограниченный этой окружностью.

По формуле (2.3) (при f=1) объем тела равен .

Внутреннее интегрирование проведем по переменной z. Определим пределы изменения переменной в области интегрирования: из уравнения сферы получим на нижней полусфере , а из уравнения параболоида z = 2–(x²+y²). Таким образом, в области интегрирования

.

Поскольку под знаком интеграла имеется выражение x² + y², а область интегрирования круг, удобно перейти к полярным координатам, в которых x² + y² = r², а элемент площади

dxdy = rdrd. Так как в круге D_ХОУ , то

.

Ответ: куб. ед.

Задача 2.7. Определить объем шара радиуса R.

Решение. Проведем вычисления в сферической системе координат. Поместим центр шара в начало координат. В прямоугольной системе координат уравнение поверхности шара (сферы) имеет вид: x² + y² + r² = R².

Переходя к сферическим координатам получим уравнение поверхности шара ²=R² или  = R. Вычислим объем той части шара, которая находится в первом октанте по формуле:

.

Внутренний интеграл .

Поэтому .

Окончательно объем шара равен: куб. ед.

Ответ: куб. ед.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 2.8. Найти объем тела, ограниченного поверхностями 4z = x² + у² и x² + у² + z² = 12.

Рис. 2.8

Указание.

Тело проектируется на плоскость хоу в круг, рис. 2.8 ограниченный окружностью, уравнение которой можно получить, выразив из второго уравнения х² + у² = 12 – z² и подставив это выражение в первое уравнение.

Ответ: куб. ед.

Задача 2.9. Найти объем тела, ограниченного сферами х² + у² + z² = 16 и х² + у² + z² – 8z = 0.

Указание.

Рис. 2.9

Круг (рис. 2.9), в который проектируется тело на плоскость хоу ограничен линией х² + у² = 12.

При вычислении двойного интеграла по области D_хоу перейти к полярным координатам:

0    2; 0  r  . Получим:

.

Ответ: куб. ед.

Задача 2.10.

Вычислить объем части шара х² + у² + z² = 4R², которая лежит внутри цилиндра х² + у² = R².

Указание. Перейти к цилиндрическим координатам в уравнениях поверхностей. Тогда:

.

Ответ: куб. ед.

Задача 2.11. Вычислить объем, ограниченный поверхностями х² + у² = R², х² + у² = z, z = 0.

Указание. Перейти к цилиндрическим координатам.

Ответ: куб. ед.