6. Оператор Гамильтона

Выше было введено понятие градиента скалярного поля. Переход от скалярного поля U к grad U можно рассматривать как некоторую операцию, во многом аналогичную по своим свойствам операции дифференцирования, с той, разницей, что дифференцирование переводит скаляр в скаляр, в то время как здесь имеется переход от скаляра к вектору. Операцию перехода от U к grad U обозначают символом V (читается «набла») и называют оператором «набла» или оператором Гамильтона. Таким образом, по определению V = grad U.

Оператор V удобно трактовать как символический вектор с компонентами: V = i∂ /∂x + j∂ /∂y + k∂ /∂z, а применение его к скалярной функции – как умножение скаляра на этот вектор. С помощью вектора V удобно записывать и остальные операции векторного анализа, а именно, если = (Р, Q, R), то

div =∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z=(V, ), т.е. дивергенция векторного поля есть скалярное произведение символического вектора V и вектора . Аналогично rot = (∂R/∂y-∂Q/∂z)i+(∂P/∂z--∂R/∂x)j+(∂Q/∂x-∂P/∂y)k=[V, ], т.е. ротор векторного поля есть векторное произведение вектора V на вектор .

Действия с вектором V

Необходимость введения символического вектора V состоит в том, что с его помощью удобно получать и записывать различные формулы векторного анализа. Кроме того, сами эти формулы в такой записи приобретают большую наглядность и выразительность.

Рассмотрим два равенства: rot grad U=0 и div rot = 0. Переписав их с помощью вектора V, получим [V, VU] = 0 и (V, V, ) = 0. Левая часть первого из этих равенств представляет собой «векторное произведение» двух «векторов», отличающихся друг от друга лишь скалярным множителем, а во втором равенстве слева стоит «смешанное произведение» трех векторов, два из которых одинаковы. Равенство нулю этих выражений находится в полном соответствии с основными законами векторной алгебры. Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что на вектор V можно перенести многие основные действия, известные для обычных векторов. Аналогия между символическим вектором V и «настоящими» векторами не полная. Формулы, содержащие символический вектор V, аналогичны обычным формулам векторной алгебры в том случае, если они не содержат произведений переменных величин (скалярных или векторных), до тех пор, пока нам не приходится применять входящие в V операции дифференцирования к произведению переменных величин. Если же некоторое выражение содержит произведение двух или более переменных сомножителей, применяя к этому выражению вектор V, нельзя использовать обычные правила векторной алгебры. Пусть U = U(x, у, z) – скалярное поле и = (x, у, z) – векторное поле. Вычислим div (U ), т.е. (V, U ).

Применение вектора V сводится к применению входящих в него операций дифференцирования. Правило дифференцирования произведения состоит в том, что дифференцируется сначала первый сомножитель, а остальные рассматриваем как постоянные, затем дифференцируется второй сомножитель, считая остальные постоянными, и т.д., а затем берем сумму полученных таким образом выражений.

Дадим сводку формул, связывающих операции взятия градиента, ротора и дивергенции с основными операциями векторной алгебры:

1. div(U ) = ( , grad U)+ U div ;

2. grad (UW) = W grad U + U grad W;

3. rot (U ) = U rot + [grad U, ];

4. div[ , ] = ( , rot ) — ( , rot );

5. rot[ , ] = ( , V) -( , V) + div - div ;

6. grad ( , ) = ( , V) + ( , V) + [ , rot ] + + [ , rot ].

Если в последней формуле = , получим grad ( ²/2)= ( , V) +[ , rot ]. Первые две из этих формул были получены выше. Остальные могут быть получены аналогичным образом с применением оператора V (и соблюдением правил действия с V) и обычных формул векторной алгебры. Например, для вычисления выражения rot [ , ], которое в символической форме пишется как [V, [ , ]], следует применить известную формулу двойного векторного произведения: [ ,[ , ]] = ( )- ( , ). Выражение вида ( , V) , которое встречается в последних двух формулах, означает векторную величину (A_x∂B_x/∂x+A_y∂B_x/∂y+A_z∂B_x/∂z, A_x∂B_y/∂x+A_y∂B_y/∂y+A_z∂B_y/∂z, A_x∂B_z/∂x+A_y∂B_z/∂y+A_z∂B_z/∂z), которую можно рассматривать как результат применения «скалярной» операции ( ,V) = A_x ∂ /∂x+A_y ∂ /∂y+A_z ∂/∂z к каждой из компонент вектора .

Дифференциальные операции второго порядка

В предыдущих параграфах мы ввели понятия градиента, дивергенции и ротора. В приложениях векторного анализа приходится встречаться не только с выполнением этих основных операций, но и с различными их комбинациями. Особенно часто встречаются так называемые операции второго порядка, т.е. всевозможные комбинации трех указанных выше основных операций. Комбинируя символы grad, rot, div попарно, мы можем составить из них девять пар. Однако не все эти пары имеют смысл. Например, операция rot div (т.е. взятие ротора от дивергенции) не имеет смысла ни для скалярного поля, ни для векторного. Все имеющиеся здесь возможности изображаются следующей таблицей.

Скалярное поле U	Векторное поле
grad	div	Rot
	grad div
		div rot ≡ 0
rot grad U ≡ 0		rot rot

В таблице пустые клетки, отвечающие не имеющим смысла сочетаниям основных операций.

Выражение div grad U называется оператором Лапласа и обозначается ∆U. Воспользовавшись известными выражениями градиента и дивергенции, получаем

∆U=div(gradU)=∂²U/∂x²+∂²U/∂y²+∂²U/∂z².

Дивергенция и градиент не зависят от выбора координатной системы, а ∆U зависит от самого поля U.

Оператор Лапласа ∆ можно рассматривать как скалярный квадрат вектора V, т.е. ∆=(V,V)=(∂²/∂x²)+(∂²/∂y²)+(∂²/∂z²), и (V,V)U=∂²U/∂x²+∂²U∂y²+∂²U/∂z²=∆U. Оператор ∆ необходимо применять к вектору. Если =A_xi+A_yj+A_zk, то под ∆ понимается вектор ∆A_xi+∆A_yj+∆A_zk.

Это выражение зависит только от самого вектора , но не от выбора системы координат. Рассмотрим теперь операции второго порядка для векторного поля. Применительно к векторному полю имеют смысл три операции второго порядка: grad div , rot rot , div rot . С выражением вида div rot мы уже встречались ранее при нахождении условий соленоидальности поля и выяснили, что всегда div rot = 0. Выражения grad div и rot rot не обязаны обращаться в нуль. Они часто встречаются в различных вопросах механики и электродинамики. Рассмотрим выражение rot rot , которое в символической форме записывается так: [V, [V, ]].

Воспользовавшись формулой для двойного векторного произведения, получим, что [V,[V, ]]=V(V, -(V,V) , т.е.

rot rot =grad div -∆ . Из этой формулы видно, что это выражение не зависит от выбора системы координат (т.к. величины rot rot и grad div с выбором системы координат не связаны) и что в нем участвует только одна переменная величина. Оперируя с V, можно пользоваться обычными формулами векторной алгебры.