Несобственные интегралы
Вводя определенный интеграл как предел интегральных сумм, мы предполагали, что отрезок интегрирования конечный, а подынтегральная функция ограничена на этом отрезке. Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то данное выше определение определенного интеграла теряет смысл. Так, в случае бесконечного отрезка интегрирования нельзя разбить отрезок на n частей конечной длины, а в случае неограниченной функции интегральная сумма не имеет конечного предела. Однако и на эти случаи можно обобщить понятие определенного интеграла. В результате такого обобщения и появилось понятие несобственного интеграла.
1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Определение.
Пусть функция
определена на промежутке
и интегрируема по любому отрезку
,
т. е. существует определенный интеграл
при
любом R>a. Тогда, если существует конечный предел
(10.1)
то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают
(10.2)
Таким образом, по определению,
В этом случае говорят, что интеграл (10.2) существует или сходится. Если же предел (10.1) не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл (10.2) не существует или расходится.
Аналогично интегралу
(10.2) вводится несобственный интеграл
по промежутку
(10.3)
Наконец, как сумму интегралов вида (10.2) и (10.3) можно определить несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами, т. е.
(10.4)
где с – любое число, при условии существования обоих интегралов справа.
Установим
геометрический смысл несобственного
интеграла первого рода. Пусть
Тогда определенный интеграл
выражает площадь области, ограниченной
сверху графиком функции
,
снизу – осью Ох,
слева – прямой
,
справа – прямой
.
Естественно считать, что несобственный
интеграл
выражает конечную площадь бесконечной
области, ограниченной сверху графиком
функции
,
снизу осью Ох,
слева прямой
.
Аналогичная интерпретация имеет место
для интегралов (10.3) и (10.4).
Рассмотрим несколько примеров вычисления несобственных интегралов первого рода.
Пример 1.
т.е. данный интеграл сходится.
Пример 2.
но
предел функции sin R
при
не существует, следовательно, интеграл
расходится.
Пример
3.
интеграл
расходится, так как
Пример
4.
некоторое число.
Если
то для любого R
> 0
Если
то для любого R
> 0
Таким
образом, данный интеграл сходится при
и расходится при
Заметим, что в рассмотренных примерах
вычисление несобственного интеграла
было основано на его определении.
2. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
Определение.
Пусть функция
f(x) определена на промежутке
Точку
будем называть особой, если функция
неограничена в любой окрестности этой
точки, но ограничена на любом отрезке
,
заключенном в
(рис. 15). Пусть на любом отрезке
функция
интегрируема, т. е. существует определенный
интеграл
при любом
таком, что
Тогда, если существует конечный предел
(10.5)
то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают
(10.6)
В этом случае говорят, что интеграл (10.6) существует или сходится. Если же предел (10.5) не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл (10.6) не существует или расходится.
Рис.15
Аналогично, если – особая точка, то несобственный интеграл определяется так:
Если
функция
не ограничена в окрестности какой-нибудь
внутренней точки
то при условии существования обоих
интегралов справа по определению
полагают
Наконец, если a и b – особые точки, то если оба интеграла справа существуют, несобственный интеграл определяется как сумма
где
c
– любая точка из
.
Пример
5.
некоторое
число.
Если
то
2)
Если
,
то
Таким
образом, данный интеграл сходится при
и расходится при
3. Пример использования несобственного интеграла. Вычислим вторую космическую скорость тела, т.е. начальную скорость, при которой оно способно выйти из поля притяжения Земли в межпланетное пространство.
Ранее с помощью определенного интеграла была вычислена работа, необходимая для запуска тела массой m с поверхности Земли на высоту h
Выход
тела в межпланетное пространство
означает запуск его на бесконечную
высоту
.
Вычислим необходимую для этого работу:
где m – масса тела; g – ускорение свободного падения у поверхности Земли (трение и притяжение других планет при этом не учитываются). Эта работа совершается за счет изменения кинетической энергии тела. Поэтому кинетическая энергия тела в начальный момент должна быть не меньше этой работы, т.е. начальная скорость тела v должна быть такая, чтобы
Если начальная скорость тела равна 11,2 км/с, то его траектория движения представляет собой параболу. При начальной скорости, большей 11,2 км/с, траектория будет представлять собой гиперболу, а при начальной скорости, меньшей 11,2 км/с, тело будет двигаться по эллиптической траектории. При этом либо упадет на Землю, либо станет искусственным спутником Земли.