ФГБОУ ВПО “Воронежский
государственный технический университет”
Кафедра прикладной математики и механики
Методические указания
по математике к разделу
«Определенный интеграл и его приложение»
для студентов направления подготовки бакалавров 21.03.01 «Нефтегазовое дело» (профиль «Эксплуатация
и обслуживание объектов транспорта и хранения
нефти, газа и продуктов переработки»)
очной формы обучения
Воронеж 2015
Составители:
|
канд. физ.-мат. наук канд. физ.-мат. наук |
А.П. Бырдин, М. И. Зайцева, |
|
канд. техн. наук |
А.А. Сидоренко |
УДК 517.2 (07)
Методические указания по математике к разделу «Определенный интеграл и его приложение» для студентов направления подготовки бакалавров 21.03.01 «Нефтегазовое дело» (профиль «Эксплуатация и обслуживание объектов транспорта и хранения нефти, газа и продуктов переработки»)
очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост.: А.П. Бырдин, М.И. Зайцева, А.А Сидоренко. Воронеж, 2015. 48 с.
Методические указания предназначены для самостоятельного изучения темы «Определенный интеграл и его приложение». Изложен теоретический материал и типовые примеры, предложены задачи для самостоятельной работы. Методические указания рассчитаны на студентов первого курса указанного направления, но могут быть использованы и для других направлений.
Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе Word 2003 и содержатся в файле НГД-Определенный интеграл.doc.
Ил. 15. Библиогр.: 5 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. Е.И. Иохвидов
Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р техн.
наук, проф. В.И. Ряжских
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
ФГБОУ ВПО “Воронежский государственный технический университет”, 2015
Определенный интеграл
1. Определение определенного интеграла
Пусть
функция
определена на отрезке
Разобьем этот отрезок на n
произвольных
частей точками:
Обозначим
это разбиение через
а точки
будем называть точками разбиения. В
каждом из полученных частичных отрезков
выберем произвольную точку
Через
обозначим разность
которую условимся называть длиной
частичного отрезка
Образуем сумму:
(1.1)
которую
назовем интегральной
суммой для
функции f(x)
на
соответствующей данному разбиению
на частичные отрезки и данному выбору
промежуточных точек
Геометрический смысл суммы
очевиден: это сумма площадей прямоугольников
с основаниями
и высотами
если
(рис.1). Обозначим через
длину наибольшего частичного отрезка
разбиения
:
.
Определение.
Если
существует конечный предел I интегральной
суммы (1.1)
при
,
то этот предел называется определенным
интегралом от функции
по отрезку
и обозначается следующим образом:
или
(1.2)
Рис. 1
В
этом случае, функция
называется интегрируемой
на отрезке
.
Числа a
и b
называются соответственно нижним
и верхним пределами интегрирования,
- подынтегральной функцией, х – переменной
интегрирования.
Из
определения определенного интеграла
следует, что величина интеграла (1.2)
зависит только от вида функций
и от чисел a
и b.
Следовательно, если заданы
и пределы интегрирования, то интеграл
(1.2) определяется однозначно и представляет
собой некоторое число. Отсюда, в частности,
следует, что определенный интеграл не
зависит от выбора обозначения для
аргумента подынтегральной функции, т.
е. от обозначения переменной интегрирования:
и т. д.
Теорема
(необходимое
условие интегрируемости функции). Если
функция
интегрируема на отрезке
то она
ограничена на этом отрезке.