1.2. Моделирование стадии

диффузионной загонки примеси

Рассмотрим простейшую математическую модель стадии диффузионной загонки примеси. Поскольку характерная глубина проникновения примеси на стадии загонки значительно меньше не только толщины пластины, но и поперечных размеров окна в маске, то краевыми эффектами пренебрежем. Будем рассматривать участки окна, достаточно удалённые от краёв маски, и считать, что условия диффузионного внедрения примеси одинаковы по всей поверхности таких участков. Тогда распределение объёмной концентрации примеси N (см^-3) будет зависеть только от расстояния x до поверхности пластины и времени t, т.е. N=N(x, t). Сам полупроводник будем считать полуограниченным телом, расположенным в области . В простейшем случае коэффициент диффузии данной примеси в кремнии можно считать величиной, зависящей только от температуры по закону Аррениуса (1).

В соответствии с принятыми предположениями концентрация диффундирующей примеси в объеме полупроводника подчиняется уравнению

(2)

Обсудим граничные и начальные условия, которым подчиняется функция N(x,t) на стадии загонки. Благодаря интенсивному подводу примесного компонента из парогазовой смеси, его концентрация в кремнии непосредственно у поверхности пластины поддерживается постоянной, близкой к пределу растворимости легирующей примеси в кремнии при температуре диффузии. Поэтому граничное условие на поверхности пластины можно записать в виде:

. (3)

Значение постоянной N₀ определяется, вообще говоря, сочетанием технологических факторов: температурой источника диффузанта, температурой в реакторе, расходом газа-носителя, скоростью диффузии ангидрида примесного компонента через растущий слой диоксида кремния и гидродинамической обстановкой в реакторе. Однако ведущим фактором остаётся предел растворимости примеси в кремнии при температуре процесса. Поэтому в первом приближении значение постоянной N₀ следует определять по кривым растворимости легирующих примесей в кремнии (приложение 2). При выполнении граничного условия (3) говорят, что диффузия происходит из постоянного источника (из источника неограниченной мощности).

Пусть исходная пластина не содержит примеси данного сорта. Поскольку глубина загонки всегда много меньше толщины пластины, то второе граничное и начальное условия для концентрации диффундирующей примеси будут иметь вид:

, (4)

. (5)

Решение поставленной краевой задачи для стадии диффузионной загонки из постоянного источника имеет вид /1 - 4/:

, (6)

где дополнительная функция ошибок erfc() определяется равенством:

. (7)

Определяющее соотношение для функции ошибок erf() запишем в виде:

. (8)

Дозой легирования Q принято называть количество примеси, проникшей через единицу поверхности пластины за всё время легирования t. Она может быть определена по одной из следующих формул:

, (9)

. (10)

В формуле (10) J^(N)(0,t) (см^-2с^-1) есть плотность потока примесного компонента через поверхность пластины. Для стадии диффузионной загонки из постоянного источника /1 - 4/

. (11)