4.3. Подход к параметрическому синтезу системы с заданным риском

Пусть теперь задан требуемый вид общей функции риска, а, следовательно, и максимально допустимый диапазон ущербов, причем график этой функции колеблется в заданной полосе неравномерности . В данном случае важны значения аргумента , при которых общая функция риска достигает своих экстремумов, и ее значения в данных точках . Получим аналитические выражения для параметров функций рисков компонентов таким образом, чтобы найденный общий риск системы соответствовал заданному виду.

В силу гладкости функции плотности распределения вероятностей, при предельно допустимых значениях коэффициента загрузки центрального процессора , поведение функции риска всей системы, время отказов компонентов которой задается функцией плотности распределения вероятностей Вейбулла, будет зависеть от ее поведения около точек локальных экстремумов.

Задавая ее значения в точках и , составим систему уравнений, приравнивая общую функцию синтезируемой системы, вычисленную в точках экстремумов, к значениям заданной общей функции риска в тех же точках.

В результате получим систему для нахождения предельно допустимых значений коэффициента загрузки центрального процессора следующей итерации через их значения в предыдущей вариации. Начальные значения предварительно задаются. Таким образом, получаем нелинейную систему относительно параметров и компонентов синтезируемой системы:

(4.10)

Из системы (4.10) получаем следующую систему для нахождения предельно допустимых значений коэффициента загрузки центрального процессора и максимального числа открытых соединений для каждого сервера синтезируемой МСС:

;

;

;

;

.

И так далее. Если задано -е приближение , , то -е приближение находим по формулам [71]:

;

,

где .

Начальные значения предварительно задаются. Так как функция риска, заданная с помощью распределения Вейбулла, имеет максимальное значение при значении аргумента , то за начальные значения параметров можно взять . Тогда соответствующие параметры можно выбрать из условия равенства пиковых значений.

За начальные значения можно принять значения параметров компонентов мультисерверной системы, найденные ранее при условии уравнивания максимальных значений функций рисков компонент [70,73]. Если задано -е приближение , , то -е приближение находим по формулам [71].

В силу гладкости функции плотности распределения вероятности Вейбулла, метод итераций сходится к искомому решению. Для того чтобы получить решение с заданной точностью, необходимо продолжать процесс до тех пор, пока два последовательных приближения будет совпадать с этой точностью. Таким образом, получены параметры компонентов функций риска синтезируемой мультисерверной системы по заданным параметрам общей функции риска и диапазона предельно допустимого ущерба.

В случае, например, четырех компонент функция риска будет содержать восемь параметров: и , , а локальных экстремумов будет семь: четыре максимума и три минимума. Поэтому для нахождения параметров функций рисков компонентов системы, обеспечивающих колебание общей функции риска в заданной полосе неравномерности, будем составлять две системы нелинейных уравнений относительно искомых параметров. Первую систему составим относительно искомых параметров , , , , , , параметров функций рисков компонент системы соответственно , , , , , , . Тогда в качестве вариаций, обеспечивающих заданное движение риска, будем выбирать следующие значения:

, , , ,

, , , .

В рассмотренном примере были заданы следующие значения:

; ;

; ; ; ;

; ; .

Графики функции общего риска системы при полученных значениях параметров , , , , , , , функций рисков компонент системы в результате 4, 5 и 6 итераций приведены на рис. 4.7.

Рис. 4.7. График общей функции риска системы при полученных

значениях параметров функций рисков компонент

После проведения шестой итерации получаем следующие значения параметров функций компонент системы:

, , , ,

, , , .

Таким образом, получены параметры компонентов функций риска синтезируемой МСС по заданному виду общей функции риска и диапазона предельно допустимого ущерба.

Синтез МСС на основе трехпараметрического распределения Вейбулла.

По заданному пороговому значению риска всей системы и полосы неравномерности

( )

были получены аналитические выражения для параметров компонентов системы при условии уравнивания максимальных значений функций рисков компонентов [5].

Пусть теперь задан требуемый вид функции риска всей системы, а, следовательно, и максимально допустимый диапазон ущербов, причем график этой функции колеблется в заданной полосе неравномерности . Получим аналитические выражения для параметров функций рисков компонентов таким образом, чтобы найденный общий риск системы соответствовал требуемому виду.

Будем искать заданную общую функцию риска в виде совокупности рисков, имеющих трехпараметрическое распределение Вейбулла:

, .

Тогда риск будет равен

(4.11)

.

Выберем параметры таким образом, чтобы максимальное значение первой волны общей функции риска

(4.12)

было рано . Так как в этом случае функция риска компонента достигает своего максимального значения при [5], то получаем выражение:

.

Отсюда следует соотношение для выбора параметров :

. (4.13)

Затем полученную функцию риска сдвигаем вверх по оси риска на величину . Тогда максимальное значение первой волны заданной функции риска будет равно ., а минимальное – не будет меньше .

Полученный результат иллюстрирует рисунок 4.8.

Вторую волну заданной функции риска получим, подставив в выражение (4.11) значение :

.

Рис. 4.8. Вид заданной общей функции риска системы

Параметр будем находить таким образом, чтобы функция второй волны заданного риска пересекала функцию первой волны в точке ее перегиба. Поэтому сначала найдем точки перегиба функции риска (4.11), вычислив производную второго порядка по переменной , и приравняв ее к нулю. Затем определим, меняет ли производная второго порядка знак при прохождении через критические точки.

Предварительно найдем производную первого порядка:

.

Далее найдем производную второго порядка по переменной :

.

После преобразований получаем следующее уравнение для нахождения критических точек:

.

Откуда следует, что критические точки находим из квадратного относительно уравнения:

. (4.14)

Введем следующее обозначение: .

Тогда уравнение (4.14) будет иметь следующий вид:

. (4.15)

Найдем дискриминант уравнения (4.15):

.

Определим знак дискриминанта, рассмотрев квадратное относительно уравнение

. (4.16)

Так как знак дискриминанта уравнения (4.16) , коэффициент при больше нуля, то дискриминант уравнения (4.15) неотрицателен при всех значениях . Следовательно, при всех значениях параметра уравнение (4.14) , значит и уравнение (4.15), имеют два вещественных корня:

;

.

Так как при прохождении через критические точки и меняется на противоположный, то они являются точками перегиба функции . Возвращаясь к старой переменной , получим следующие выражения для точек перегиба:

; (4.17)

. (4.18)

Параметр будем находить из уравнения , которое примет следующий вид:

. (4.19)

Преобразовав уравнение (4.19), получим следующее уравнение относительно параметра :

.

Откуда получаем:

. (4.20)

Прологарифмировав обе части уравнения (4.20), получим:

.

Введем следующее обозначение: , тогда последнее уравнение после преобразований примет вид:

. (4.21)

Решая уравнение (4.21) одним из численных методов, например, методом Ньютона, получим значение для введенной переменной . Тогда, возвращаясь к переменной , получим ее значение следующим образом:

. (4.22)

Тогда значение переменной , при котором вторая волна общей функции риска достигает своего максимального значения, т.е. максимальное значение функции, можно найти из соотношения:

, (4.23)

где .

Получая конкретный вид требуемой общей функции риска, колеблющегося в заданной полосе неравномерности, примем , тогда, исходя из условия (4.13) и учитывая заданные значение и коэффициента , найдем значение параметра (рис. 4.9). Графическое решение уравнения (4.21) показано на рис. 4.10.

Рис. 4.9. Полученные значения параметров и

Рис. 4.10. Иллюстрация решения уравнения (4.21)

Получив два корня уравнения (4.21) и , определяем, что, согласно формуле (4.22), , , следовательно, не подходит. Зная значение параметра , по формуле (4.23) находим , которые, одновременно, являются и точками минимума заданной общей функции риска системы. Значения точек перегиба , полученные по расчетным формулам (4.17), (4.18), показаны на рис. 4.11.

Рис. 4.11. Полученные значения переменной , при которых заданная общая функция риска имеет перегибы

Для нахождения параметров компонентов синтезируемой системы воспользуемся на начальном этапе методом итераций для решения нелинейных систем [6]. Для составления уравнений этой системы будем задавать значение общего риска системы в токах экстремумов заданной функции общего риска, которая имеет следующий вид (рисунок 4.10):

_.

В силу гладкости функций плотности распределения Вейбулла будем получать заданный вид функции риска. Задавая ее значения в точках и , составим систему уравнений, приравнивая общую функцию синтезируемой системы, вычисленную в точках экстремумов, к значениям заданной общей функции риска в тех же точках.

. (4.24)

Из системы (4.24) получаем следующую систему для нахождения параметров синтезируемой мкльтисерверной системы:

;

;

;

;

И так далее. Если задано -е приближение , , то -е приближение находим по формулам [6]:

Получена методика нахождения параметров функций риска для компонентов синтезируемой МСС по заданным параметрам общей функции риска и диапазона предельно допустимого ущерба. Учтено, что при задании требуемого вида общего риска системы количество максимумов должно быть равно количеству компонентов, включенных в систему. Показана эффективность метода уравнивания в точках экстремумов значений искомой общей функции риска со значениями заданной функции риска в тех же точках. Важно, что данный метод позволяет не только получать необходимые параметры компонентов системы, обеспечивающих требуемый вид общей функции риска, график которой колеблется в заданной полосе неравномерности, но и не выходить за пределы заданного диапазона ущербов. Полученные оценки параметров позволят заранее оценивать ущербы от нахождения системы в режиме отказа в обслуживании и принять эффективные управленческие решения по оптимизации риска МСС.

Данная методика носит достаточно общий характер и применима и в тех случаях, когда функция плотности вероятности наступления ущерба задана другими гладкими функциями двухпараметрических распределений. При использовании данной методики сняты существенные ограничения на параметры ее компонентов, заключающиеся в уравнивании пиковых значений функций рисков, что ранее активно использовалось при получении параметров компонентов систем. Полученные оценки параметров позволят заранее оценивать ущербы от нахождения системы в режиме отказа в обслуживании и принять эффективные управленческие решения по оптимизации риска МСС. Предложенный метод позволяет найти параметры функций риска компонентов системы таким образом, чтобы обеспечить балансировку загрузки серверов, а это, в свою очередь, позволит при реализации инновационных проектов, носящих распределенный характер, будет способствовать эффективному использованию вычислительной техники.