Сведение к матричной игре

Рассмотрим игру с двумя ходами, которые последовательно делают два игрока А и В.

Начинает игрок А: он выбирает число х, равное либо 1 (первая альтернатива), либо 2 (вторая альтернатива). Игрок В отвечает на ход игрока А своим ходом, выбирая число y, равным либо 1, либо 2. В результате игрок А получает вознаграждение или платит штраф.

Проведём нормализацию этой игры, с учётом полной информации о ходах противника.

1 ход: игрок А выбирает число х = {1, 2}.

2 ход: игрок В выбирает число y = {1, 2}, зная выбор числа х игроком А.

Задана функция выплат W(x, y) игроку А за счёт игрока В:

W(1, 1)=1, W(2, 1)=-2, W(1, 2)=-1, W(2, 2)=2. Дерево игры и информационные множества для данного случая приведены ниже:

 

Таким образом у игрока А две чистые стратегии: A₁={x=1}, A₂={x=2}

Стегию игрока В, учитывая то, что он знает выбор игрока А, удобно описать упорядоченной парой [y₁, y₂]. Таким образом, у игрока В четыре чистых стратегии: В₁=[1, 1], В₂=[1, 2], В₃=[2, 1], В₄=[2, 2].

Рассчитываем теперь выигрыши игрока А в зависимости от применяемой стратегии. Пусть, например, игрок А выбрал стратегию А₁-(1), а игрок В стратегию В₂-[1, 2]. Тогда х=1, а из стратегии [1, 2] следует, что y=1. Отсюда W(x, y)=W(1, 1)=1. Остальные выигрыши рассчитываем аналогично.

Результаты расчётов выигрышей игрока А:

Отсюда получим следующую матрицу игры:

Таким образом игра имеет решение в чистых стратегиях и оптимальные стратегии игроков: A-А₁, B-B₃. Оптимальаня стратегия показана жирной линией на дереве игры. Цена игры V=-1.

Сведение к биматричной игре

Решение аналогично как и в случае матричной игры за исключением составлением двух матриц со своими значениями вознаграждений для А и В.

V_A=2, V_B=1, ситуация (А₂, В₄) - равновесие по Нэшу.