Множества решений неравенств, уравнений и их систем в задачах линейного программирования.

Множеством решений неравенств, уравнений и их систем на плоскости Ox₁x₂ является многоугольник решений – выпуклое многоугольное множество, образованное линиями из системы ограничений или из самих неравенства, уравнения.

Многоугольник решений может быть не ограничен сверху и/или снизу.

Иногда многоугольник может принять вид полуплоскости или даже отрезка прямой.

Если n – m = 2, где n – количество переменных, m – количество уравнений, то решение задачи можно показать на плоскости.

Теорема: Множество допустимых решений системы 2 х m линейных неравенств с n переменными является выпуклым n–мерным многогранником (выпуклой n–мерной многогранной областью).

Допустимые решения.

Теорема 1: Область допустимых решений задачи линейного программирования является выпуклым множеством.

Теорема 2: Множество допустимых решений системы с m линейных неравенств с n переменными является выпуклым n–мерным многогранником (выпуклой n–мерной многогранной областью).

Теорема 3: Если задача имеет оптимальное решение, то целевая функция принимает минимальное (максимальное) значение в одной из угловых точек многогранника допустимых решений.

Этот многогранник можно получить из системы ограничений.

Допустимые базисные решения.

Теорема : Каждому допустимому базисному решению задачи линейного программирования соответствует угловая точка многогранника допустимых решений, и наоборот, каждой угловой точке многогранника допустимых решений соответствует допустимое базисное решение задачи.

Сведения из теории выпуклых множеств.

Множество точек называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя своими точками содержит их произвольную выпуклую линейную комбинацию.

Точка множества называется граничной, если любая окрестность этой точки сколь угодно малого размера содержит точки, как принадлежащие множеству, так и не принадлежащие ему.

Граничные точки множества образуют его границу.

Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.

Ограниченным называется множество, если существует шар с радиусом конечной длины и центром в любой точке множества, содержащий полностью в себе данное множество. В противном случае множество будет неограниченным.

Пересечение двух или более выпуклых множеств будет выпуклым множеством, так как оно отвечает определению выпуклого множества.

Точка выпуклого множества называется угловой, если она не может быть представлена в виде выпуклой линейной комбинации двух других различных точек этого множества.

Выпуклое замкнутое ограниченное множество на плоскости, имеющее конечное число угловых точек, называется выпуклым многоугольником, а замкнутое выпуклое ограниченное множество в трехмерном пространстве, имеющее конечное число угловых точек, называется выпуклым многогранником.