Для задачи на максимум
Смотрим на коэффициенты в функции F(x). Если есть положительные, значит решение не оптимально. Переменную с наименьшим коэффициентом необходимо вывести из базиса.
Подставим в систему ограничений выводимую переменную как 0 и найдем значения оставшейся переменной. Выберем минимальное или то, на которое нет ограничений.
Затем введем базис переменную, соответствующую ограничению, которое мы выбрали на предыдущем шаге.
Пересчитаем систему ограничений, выразив выводимую и вводимую переменные. Пересчитаем так же F(x). выпишем X(1) .
Если в F(x) присутствуют не отрицательные коэффициенты, изменим базис снова, повторив вышеописанные действия.
Когда наконец получена F(x), где все коэффициенты отрицательны – мы получили оптимальное решение. X* = X(n)
Для задачи на минимум
Все аналогично, однако при задаче на минимум в оптимальном решении в F(x) все коэффициенты должны быть положительными,
12. Симплекс-таблицы в симплекс-методе для задач на максимум и минимум.
Для решения ЗЛП при помощи симплекс-таблицы необходимо в начале представить ЗЛП в каноническом виде, затем выбрать допустимый базис и свободные переменные и начертить таблицу:
В столбце б названы переменные базиса.
В столбце Сб – их коэффициенты в F(x).
В столбце Xб значения из системы ограничений.
Далее идут столбцы переменных.
Столбцы переменных базиса являются столбцами единичной матрицы (хоть впоследствии они и не будут идти по порядку)
Столбцы свободных переменных в начале заполняются в соответствии со значениями матрицы A (коэффициенты из системы ограничений)
После заполнения таблицы следует подсчитать дельты:
0 вычисляется как сумма произведений
Xб на СбДельты для свободных переменных вычисляются
В задачах на максимум
как сумма произведений Xj на Сб - Cj
В задачах на минимум
как Cj - сумма произведений Xj на Сб
Если хотя бы одна дельта отрицательна – решение не оптимально.
Находим переменную, дельта которой отрицательна и наибольшая по модулю.
Считаем ограничения для этой переменной.
Ограничения сичтаются по следующим правилам:
Если ail и бi имеют разные знаки, то ставится –
Если ail = 0 или бi = 0 то ставится –
В противном случае ограничение вычисляется по формуле бi/ ail
Выбираем переменную, у которой минимальное ограничение. Её необходимо вывести из базиса.
Строка выводимой переменной и столбец вводимой в базис переменной называются разрешающими.
На их пересечении находится разрешающий элемент.
Строим следующую симплекс-таблицу:
Столбцы не меняют свой порядок, как и строки. Однако, в разрешающей строке из прошлой таблицы переменная должна измениться на ту, что мы ввели в базис.
Значения в этой строке переписываются равными значениям из предыдущей таблицы той же строки, но делятся на разрешающий элемент.
Строки и столбцы, в пересечении с которыми в разрешающих строке и столбце предыдущей таблицы стоял 0, переписываются без изменений (кроме дельт).
В столбец новой базисной переменной должен быть аналогичен столбцу старой.
Дельты базисных переменных все также должны равняться 0.
Наконец, столбец Сб необходимо обновить, если необходимо.
Все остальные значения таблицы подсчитываются по формуле:
a(t+1)ij = a(t)ij – (a(t)il* a(t)kj)/( a(t)kl) (те старое значение клетки минус перемноженные пересечения с разрешающими, деленные на разрешающий элемент)
После заполнения очередной таблицы необходимо посчитать дельты и проверить на наличие отрицательных. Если они есть – необходимо повторить с шага про подсчет ограничений. Если нет – решение оптимально.