2.7. Предел показательно-степенной функции

Напомним, что функция y =u(x)v(x) , u(x) > 0 , основание и показатель степени которой являются функциями, зависящими от переменной x , называется показательно-степенной. Пользуясь тождеством eln N = N и свойст-

вом логарифмической функции ln (N n )= n ln N , представим показательно-

степенную функцию в виде u(x)v(x) = eln u(x)v( x) =ev(x) ln u(x) . В силу непрерывности показательной функции по формуле (2.6) получаем:

Таким образом, нахождение исходного предела сводится к нахождению

предела lim v(x) ln u (x). Показательно-степенные выражения в пределе мо-

x→a

гут порождать три типа неопределенности: 1∞, 00 , ∞0 . Для раскрытия неоп-

ределенности 1∞ можно использовать второй замечательный предел

1

lim (1 + x)x = e .

x→0

Правила вычисления lim u(x)v(x) :

x→a

1. Если функции u (x) и v(x) имеют при x →a конечные пределы, то

2. Во всех остальных случаях рекомендуется перейти к основанию e по

формуле (2.10), вычислить предел lim v(x)ln u (x) и воспользоваться свойст-

x→a

вами показательной функции y = ex .

29

ми показательной функции с основанием, большим единицы: lim 2x =+∞ и

x→+∞

lim 2x = 0 , окончательно получаем:

x→−∞

1

x −1 x−1

Пример 2.30. Вычислить lim . x→1 x2 −1

Решение. Найдем пределы основания и показателя степени при x →1:

Однако поведение показательной функции на бесконечности существенно зависит от знака бесконечно удаленной точки. Для показательной функ-

30

Решение. Неопределенность 1∞ можно раскрыть, не прибегая к формуле (2.10), а пользуясь вторым замечательным пределом. Воспользуемся свойст-

вом показательной функции (ax )y = ax y и преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, следующим образом:

По второму замечательному пределу (2.9) имеем:

Список литературы

1.Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: В 2 ч. М.: Айрис Пресс, 2006. Ч. 1.

2.Комплексные числа и многочлены: Методические указания к решению задач / Сост.: М. Н. Абрамова, Е. А. Толкачева, А. И. Куприянов. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2007.

31