Определение [1, с. 115]. Функция y = f (x)

называется бесконечно малой

при x → x0

(включая бесконечность), если lim

f (x) = 0 .

x→x0

ше x0 ) или колеблясь около точки x0 . Часто спо-

y

y = f (x)

соб приближения x к x0 влияет на значение

предела функции, поэтому вводят понятие одно-

5

сторонних пределов.

Если x

стремится к x0 справа, то пишут:

x → x0 + 0 ,

если же x стремится к x0 слева, то

O

3

x

пишут: x → x0 −0 .

Рис. 1.7

1.7, при x →3.

Решение. На

рис. 1.7 приведен график функции, для которой

lim f (x) = +∞, а

lim f (x) =5 .

x→3−0

x→3+0

Постоянная функция

y =c

и степенная функция y = xn, n

непре-

рывны во всех точках числовой оси (см. 1.2), то есть

lim

c = c,

lim xn = x

n, x .

(1.1)

x→x0

0

0

x→x0

Пример 1.2. Найдите

lim xn, n .

x→±∞

от четности или нечетности показателя степени

n , так как lim

x3 = −∞,

x→−∞

lim x2 = +∞. Но при этом lim x3 =+∞,

lim x2 =+∞.

x→−∞

x→+∞

x→+∞

Значит,

lim x

n

=

+∞, åñëè n − ÷åòí î å,

а

lim

x

n

=+∞,

n .

(1.2)

x→−∞

−∞, åñëè n − н ечетн о е;

x→+∞

Функция

y = n x, n

определена только при

x ≥0 ,

если n

— четное

число. В остальном ее свойства подобны свойствам функции y = xn .

Тригонометрические функции

y =cos x , y =sin x непрерывны во всех

точках x .

Пример 1.3. Найдите

lim sin x ,

lim

sin x ,

lim cos x .

x→0

x→±∞

x→±∞

Решение.

Так

как

функция

y =sin x

непрерывна при

x

, то

y

lim sin x =sin 0 = 0 .

Поэтому

при

y =sin x

x→0

1

x →0

функция y =sin x является бес-

−1

π

x

конечно малой (см. 1.4).

sin x

Из рис. 1.8 видно, что

lim

2

x→±∞

Рис. 1.8

не существует, так

как для любых,

сколь угодно больших или сколь угод-

му lim cos x не существует.

x→±∞

Пример 1.4. Найдите пределы: lim tg x и

lim ctg x .

x→0

x→π2

Решение. Функция y = tg x определена и непрерывна во всех точках ве-

щественной оси кроме точек x = π + πk, k Z. Поэтому

lim tg x = tg 0 = 0 .

2

x→0

Функция y =ctg x определена и непрерывна во всех точках веществен-

ной оси кроме точек x = πk, k Z. Значит, lim ctg x = ctg π = 0 .

x→

π

2

2

Пример 1.5.

Найдите

односторонние

пределы:

lim tg x и

x→π±0

lim

ctg x .

2

x→π±0

Решение. Функция y = tg x определена и непрерывна во всех точках ве-

π

щественной оси, кроме точек

x =

2 + πk, k Z.

Из рис. 1.9 видно, что

lim

tg x = −∞, а

lim tg x = +∞,

поэтому в точках разрыва тангенс явля-

x→π+0

x→π−0

2

2

ется бесконечно большой величиной.

y

y = ctg x

y

y =tg x

−

π

0

π

x

0 π

π

x

2

2

2

Рис. 1.9

Функция

y = ctg x терпит разрывы в точках

x = πk,

k Z. На графике

функции (рис. 1.9)

y = ctg x видно, что

lim ctg x =+∞ и

lim

ctg x = −∞.

x→π+0

x→π−0

Пример. 1.6. Найдите

lim arctg x .

x→±∞

Построив график функции y

= arcñtg x можно самостоятельно убедиться

в том, что lim arcñtg x = 0

,

lim

arcñtg x = π.

x→+∞

x→−∞

Пример 1.7. Найдите lim

3x и

1

x

lim

2

.

x→+∞

x→+∞

Решение. Так как основание показательной функции равно 3, а 3 > 1, то

lim 3x = +∞. Напротив, так как 0 <

1

<1, то

1

x

2

lim

2

= 0 .

x→+∞

x→+∞

Логарифмическая функция

y = loga x, a > 0, a ≠1

непрерывна во всех

y

y = loga x, a >1

y

y = loga x, 0 < a <1

0

1

x

0

1

x

Рис. 1.12

Если

a >1,

то

lim loga x =+∞

и lim

loga x = −∞.

В случае если

x→+∞

x→0+0

0 < a <1, то lim

loga x = −∞ и lim

loga x =+∞. Поскольку логарифмиче-

x→+∞

x→0+0