Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Математический анализ

Файл:

1k2s_all / 1k1s_lim.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

510.96 Кб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Федеральное агентство по образованию

___________________________________

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

_______________________________________

Методы вычисления пределов

Методические указания к решению задач

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

2008

УДК 517

Методы вычисления пределов: Методические указания к решению задач / Сост.: Ю. В. Крашенинникова, М. Н. Абрамова. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ

«ЛЭТИ», 2008. 32 с.

Содержат определения, формулировки основных теорем и примеры решения задач различными методами по теме «Предел функции».

Предназначены для студентов-заочников всех специальностей.

Утверждено редакционно-издательским советом университета

вкачестве методических указаний

©СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2008

Настоящее издание призвано помочь студентам-заочникам младших курсов самостоятельно научиться решать задачи по теме «Предел функции». Как правило, освоение этого раздела математического анализа вызывает затруднения у студентов. Поэтому первая часть методических указаний посвящена подробному обсуждению понятия «предел функции» и основных правил предельного перехода, причем все определения предела сопровождаются геометрической иллюстрацией. Во второй части указаний рассматриваются методы вычисления некоторых типов пределов.

Данные методические указания, хотя и содержат теоретический материал, не призваны служить полной заменой учебника по теме «Предел функции», поэтому составители рекомендуют параллельно работать с учебным пособием «Конспект лекций по высшей математике» Д. Т. Письменного [1].

1.ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

1.1.Окрестность точки

Пусть x0 – действительное число. Обозначение: x0 .

Определение. Окрестностью точки x0 радиуса ε ( ε-окрестностью)

называется интервал (x0 −ε, x0 + ε), где ε >0 .

Если

точка

попадает в

ε-окрестность точки

x0 , т.

е.

x (x0 −ε, x0 +ε),

то

выполнено

неравенство

x0 −ε < x < x0 + ε

или

−ε < x − x0 < ε. Последнее

двойное

неравенство

равносильно

неравен-

ству

x − x0

<ε,

геометрический

x0 −ε

x0 +ε

смысл которого состоит в том, что

расстояние между точками x и x0

Рис. 1.1

меньше чем ε (рис. 1.1).

Окрестность без точки x0 называется проколотой окрестностью. Она задается неравенством 0 < x − x0 < ε, причем x ≠ x0 .

В дальнейшем рассматривается поведение функций не только в окрестности точки x0, но и на бесконечности. Символы +∞, −∞ используются для обозначения процесса неограниченного удаления точек числовой оси от нуля

вправо и влево соответственно. Иногда символ бесконечности употребляют без уточнения знака.

Определение.

Окрестностью

+∞ называется бесконечный интервал

(M , +∞), а окрестностью −∞ – интервал (−∞, −M ), где M >0 .

Если точка x принадлежит окре-

стности +∞, то выполнено неравенство

x > M , если же точка x попадает в ок-

−M

рестность −∞, то для нее справедливо

Рис.

1.2

неравенство x < −M . Объединение лу-

чей (−∞, −M ) (M , +∞

)

будем рассматривать как окрестность ∞ (об опера-

циях над множествами см. в [1, с. 97]). Совокупность описывающих это

x < −M

множество неравенств можно заменить одним неравенством

x > M

x > M , означающим, что расстояние от точки x до точки 0 больше чем M

(рис. 1.2).

1.2. Предел функции в точке. Непрерывность функции в точке

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 , кроме, быть может, самой точки x0 (о функции см. в [1, с. 100]).

Определение предела функции на «языке ε−δ» см. в [1, с. 112]. Обозна-

чение: lim f (x) = A. Запишем это определение коротко: x→x0

( ε > 0 δ(ε)> 0 x : 0 <	x0 − x	< δ	f (x) − A	< ε)	lim f (x) = A.
( ε > 0 δ(ε)> 0 x : 0 <	x0 − x	< δ	f (x) − A	< ε)	lim f (x) = A.
					x→x0

Квантор всеобщности читается: «для всех». Квантор существованиязаменяет слово «существует». Запись С D означает, что «из C следует D ». А C D указывает на эквивалентность высказываний C и D , т. е. «из

y	y = f (x)	C следует D и из D следует C ».
	y = f (x)	Геометрический	смысл	предела
A + ε		функции поможет понять рис. 1.3. Для
A		любой ε-окрестности	точки	A	(ось
A	2ε	OY ) найдется такая δ-окрестность точ-
A − ε	2ε	OY ) найдется такая δ-окрестность точ-
A − ε		ки x0 (ось OX ), что для всех точек этой
		окрестности, кроме, быть может,			x0 ,
O x0 − δ	x0 x0 + δ x	4
O x0 − δ	x0 x0 + δ x

Рис. 1.3

соответствующие значения функции y = f (x) лежат в ε-окрестности точки A. Иначе говоря, точки графика функции y = f (x) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми y = A −ε, y = A +ε. Величина δ зависит от выбора ε, поэтому пишут δ(ε) .

Пусть функция y = f (x) определена в точке x0 и в некоторой окрестности этой точки.

Определение. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x0 , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в

этой точке, т. е.

lim f (x) = f (x0 ) .

x→x0

Если на рис. 1.3 устранить разрыв

функции в

точке x0 ,

положив

A = f (x0 ) , то функция y = f (x) окажется непрерывной в этой точке.

1.3. Предел функции на бесконечности

Пусть функция y = f (x)

определена на всей числовой оси. Определение

предела функции y = f (x) при x →∞ см. в [1, с. 114].

Обозначение:

lim

f (x) = A.

x→∞

(

Запишем определение предела функции коротко:

ε > 0 M

(

)

x :

> M

f (x) − A

)

f (x) = A

> 0

< ε

lim

x→∞

y = f (x)

A + ε

Геометрический

смысл

этого

определения:

для

любой

2 ε

ε-окрестности точки A

(рис. 1.4)

A − ε

найдется такая окрестность беско-

нечно

удаленной

точки

−M

(−∞, −M ) (M , +∞) (ось OX ), что

Рис. 1.4

для всех

точек

этой

окрестности соответствующие

значения

функции

y = f (x)

лежат в ε-окрестности точки

A, т. е. точки графика функции

y = f (x)

лежат

внутри

полосы шириной

2ε,

ограниченной

прямыми

y = A −ε, y = A +ε.

Если рассматривается поведение функции при x →+∞ или при x →−∞,

то пишут

lim

f (x) = A и, соответственно,

lim f (x) = A .

x→+∞

x→−∞

1.4. Бесконечно большая и бесконечно малая функции

Пусть

y = f (x)

определена в некоторой окрестности точки x0

. Оп-

ределение бесконечно большой функции при x → x0 см. в [1, с. 114].

Обозначение:

lim

f (x) = ∞. Запишем определение коротко:

x→x0

( M > 0 δ(M )> 0 x :

0 <

x0 − x

< δ

f (x)

> M )

lim f (x) = ∞ .

x→x0

y = f (x)

Геометрический

смысл определения:

для любой

окрестности бесконечно

удаленной

точки

(−∞, −M ) (M , +∞)

найдется такая δ-окрестность

точки

x0 −δ

x0 +δ

x0 , что для всех точек этой окрестно-

сти, кроме точки x0 , соответствующие

значения функции y = f (x)

лежат в

окрестности ∞, т. е. точки графика

Рис. 1.5

лежат выше

прямой

y = M

и ниже

прямой y = −M (рис. 1.5).

Если функция

y = f (x)

стремится к бесконечности при x → x0 ,

прини-

мая только положительные значения, то пишут

lim f (x) = +∞, а если, при-

x→x0

нимая лишь отрицательные значения, то пишут lim

f (x) = −∞.

x→x0

Пусть функция y = f (x) определена на всей числовой оси. Определение

бесконечно большой функции при x →∞ см. в [1, с. 114].

Обозначение:

lim

f (x) = ∞.

Коротко:

y =

f (x)

x→∞

( M > 0 N (M )> 0 x :

> N

f (x)

> M )

lim f (x) = ∞.

x→∞

−N

Геометрический смысл определения: для

любой окрестности

(−∞, −M ) (M , +∞) бес-

−M

конечно удаленной точки оси OY

найдется

Рис. 1.6

такая

окрестность

(−∞, −N ) (N,+∞)

беско-

нечно удаленной точки оси OX , что как толь- 6

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 1k2s_all

#
09.02.2015510.96 Кб891k1s_lim.pdf
#
09.02.2015136.7 Кб131k2s_MA.DOC
#
09.02.20155.67 Mб432k3s_f-i_nesk_perem.doc
#
09.02.20151.09 Mб63Производные4.doc