=[tg x x, sin x x ï ðè x →0]= lim

x

− lim

x

= lim

1

− lim

1

=[∞ −∞].

x→0 x3

x→0 x3

x→0 x2

x→0 x2

sin

2 x

Пример 2.20. Вычислить

lim

2

.

x2

x→0 arcsin

2 x

2

x

x

sin

0

sin

sin

Решение.

lim

2

=

=

lim

2

2

=

x2

0

x2

x→0 arcsin

x→0 arcsin

2

2

= sin

x

x

x2

x2

ï ðè x →0 = lim

x

x

x2

2

= 1 .

, arcsin

2

2

= lim

4

=

4

2 2

2

2

x→0

x2

x→0 x2

2

2

2

Пример 2.21. Вычислить

lim tg x −sin x .

x→0

x3

sin x

lim tg x −sin x =

0

= lim cos x −sin x =

lim sin x −sin xcos x =

x→0

x3

x→0

x3

x→0

x3 cos x

0

sin x(1 −cos x)

1

x

1

x

2

x2

при x →0]= lim

2

= lim

=

sin x x, 1 −cos x

=

x3 cos x

2

x→0

x→0 x3 cos x

= lim

1

= 1 .

2cos x

x→0

2

cos

x

−sin

x

2

Пример 2.22. Вычислить

lim

2

.

π

cos x

x→2

Решение. Так как cos

π

−sin π

=

2

−

2

= 0

и cos

π

= 0 , то имеем неоп-

4

2

2

2

4

x

x

x

x

cos

−sin

0

cos

−sin

lim

2

2

=

= lim

2

2

=

cos x

x

x

x→π2

0

x→π2 cos2

−sin2

x

x

2

2

cos

−sin

1

1

2

= limπ

2

2

= limπ

=

=

.

x

x

x

x

x

x

2

x→2 cos

−sin

cos

+sin

x→2 cos

+sin

2

+

2

2

2

2

2

2

2

2

2

π

− x

tg x .

Пример 2.23. Вычислить lim

2

x→

π

2

Решение.

Известно,

что

lim tg x = ∞.

Выражение, стоящее под знаком

x→π

2

стремилась к нулю. Положим y = x −

π

, y →0

при

x →

π

, а

x = y +

π

. Да-

2

2

2

π

= −ctg y :

лее воспользуемся формулой приведения tg y +

2

lim

π

∞]=

y = x −

π

, y →0

= lim

π

=

− x tg x =[0

2

(−y)tg y +

x→π 2

y→0

2

2

= lim y ctg y = lim

y cos y

=[sin y y, y →0]= lim

y cos y

= lim cos y =1.

sin y

y

y→0

y→0

y→0

y→0

функции: ax a y = ax+y ,

a−x =

1

и преобразуем числитель дроби следую-

ax

1

3x 3x −1

32x −1

щим образом: 3x −3−x =

3x −

=

3x

=

3x

. Тогда

3x

lim

3x −3−x

0

32x −1

=

32x −1

2xln 3 при x →0]= lim

2xln 3

=

x

=

= lim

x→0

0

x→0 3x x

x→0 3x x

= lim 2 ln 3

= 2 ln 3

= 2ln 3 .

x→0 3x

1

x ln (x + 2)

Пример 2.25. Вычислить

lim

−ln x .

x→∞

ln (x + 2)−ln x = ln

x + 2

2

2

= ln 1

+

Легко видеть, что

ln 1

+

→ln1 = 0 , а

x

x

x

+

2

2

при x →∞,

lim

x ln (x + 2)−ln x =

ln 1

x

x

x→∞

x + 2

2

=[∞ 0]= lim x

2

= lim xln

= lim xln 1 +

x

x

= 2 .

x→∞

x

x→∞

x→∞

Пример 2.26. Вычислить lim

ln x −1 .

x→e

x −e

Решение. Поскольку по определению логарифма ln e =1, надо раскрыть

неопределенность

0 . Введем новую переменную, так чтобы она стремилась

0

к нулю и сделаем замену в пределе:

ln (y +e)−1

lim

ln x −1

= 0

=[y = x −e, y →0 при x →е, x = y + e]= lim

=

x −e

x→e

0

y→0

y

Решение. Применим к степенным выражениям соотношение

m

n

m

x

= x n

и сделаем в пределе замену

y = x −1 с целью воспользоваться эквивалентно-

стью (y +1)m −1 m y при y →0 . Тогда lim

3 x4 −1

=

0

=

x→1

5 x −1

0

4

4

x

−1

(y +1)

−1 =

3

= lim

=[y = x −1, y →0 ï ðè x →1, x = y +1]= lim

3

1

1

−1

y→0

−1

x→1 x5

(y +1)5

4

4

1

1

4 y

4 5

20

3

= (y +1)3 −1

y,

(y +1)5

−1

y ï ðè y →0

= lim

=

=

.

3

5

1

3

3

y→0

y

5