Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Математический анализ

Файл:

1k2s_all / 1k1s_lim.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

510.96 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ

2.1. Правила предельного перехода

Множество , дополненное двумя бесконечно удаленными точками, называется расширенной числовой осью и обозначается .

= {−∞,+∞}. Арифметические операции над бесконечно удаленными

точками будем осуществлять по следующим правилам:

1. A +(∞) = ∞, A .

4. A ∞ = ∞, A , A ≠ 0 .

2. +∞+(+∞)= +∞.

= 0 , A .

∞

3. −∞+(−∞)= −∞.

=∞, A , A ≠ 0 .

Операции +∞−(+∞),

−∞−(−∞), 0 ∞,

∞

0 не определены.

∞

Правила 1 и 4 – 6 определены вне зависимости от знака бесконечности.

Пусть a . Если при x → a

функции

f (x) и g(x) имеют конечные

или бесконечные пределы, а c – некоторая постоянная, то

lim

[

f (x) ± g(x)

]

= lim f (x) ± lim g(x);

(2.1)

x→a

lim

f (x) g(x) =

lim f (x) lim g(x);

(2.2)

x→a

если g(x) ≠ 0, то

f (x)

lim f (x)

lim

x→a

;

(2.3)

lim g(x)

x→a g(x)

x→a

lim cg(x) = c lim g(x).

(2.4)

x→a

Формула (2.4) вытекает из формулы (2.2), если в качестве одного из сомножителей взять постоянную функцию f (x) = c . Приведенные формулы известны как теоремы о пределе суммы, произведения и частного.

Замечание. Операцию деления на ноль в правиле 6 нужно воспринимать

в смысле предельного перехода, т. е. если lim f (x) = A ≠ 0 и g(x) ≠ 0 , x→a

но lim g(x) = 0 , то	lim	f (x)	=	A	= ∞.
				0
x→a	x→a g(x)

	По формуле (2.3) и		в силу правил	5, 6	имеем: если f (x) ≠ 0 и
lim	f (x) = 0 , то lim	1	= ∞; обратно, если	lim	f (x) =∞, то lim	1	= 0 .

x→a	x→a f (x)			x→a	x→a f (x)

Таким образом, функция, обратная к бесконечно малой, является бесконечно большой и наоборот, функция, обратная к бесконечно большой, является бес-

конечно малой. Например, так как

lim xn

=∞ (1.2), то

x→∞

lim

= 0 .

(2.5)

x→∞ xn

Рассмотрим

композицию функций f (ϕ(x))

[1, 104]. Пусть функция

y = ϕ(x)

имеет

конечный

или бесконечный предел

при x → a ,

т. е.

lim ϕ(x) = A, а функция

z = f ( y)

непрерывна в точке

A . Тогда верна фор-

x→a

мула для предела композиции функций

lim

f (ϕ(x)) = f ( lim ϕ(x)) = f ( A).

(2.6)

x→a

Пример 2.1. Вычислить xlim→2(3x4 + 2x2 − x +1).

Решение. Воспользуемся формулам (2.1), (2.4) и непрерывностью посто-

янной и степенной функций (1.1):

lim

(

3x4

+ 2x2 − x +1 =3 lim x4 + 2 lim x2 − lim x + lim 1 =

x→2

)

x→2

= 3·16 + 2·4 – 2 + 1 = 55.

Обобщим полученный результат: предел многочлена при x → x0,

равен значению многочлена в точке x0 .

Пример 2.2. Вычислить

lim

arctg x .

x→+∞

ln x

Решение. По формуле о пределе частного и правилу 5, получаем:

lim arctg x x→+∞ ln x

lim arctg x

= x→+∞

lim ln x x→+∞

	π
	2	= 0 .
=	2
=
	+∞

Пример 2.3. Вычислить lim	(anxn + an−1xn−1 +…+ a1x + a0 ),	an ≠ 0 ,
x→±∞
n ≥1, n .

Решение. Для всех слагаемых, за исключением последнего, имеем:

lim	a xk = a	k		lim xk = ±∞, k =1, …, n . Соотношения	(+∞)+(+∞)= +∞,
x→±∞	k	k		x→±∞

(−∞)+(−∞)= −∞ можно использовать для вычисления предела многочлена

только, если все слагаемые многочлена стремятся к бесконечности одного и того же знака. В общем случае это не так, потому что знак предела

lim	a xk	при нечетном k определяется не только знаком a	k	, а зависит еще
x→±∞	k		k

и от знака x (1.2).

lim (anxn + an−1xn−1 +…+ a1x + a0 ) =[вынесем из каждого слагаемого, x→±∞

в качестве общего множителя, переменную в наивысшей степени n ] =

= lim	xn a		+ a	1	+…+ a	1	+ a	1	=

x→±∞		n	n−1	x	1	xn−1	0
								xn

= lim

lim

+ a

lim 1

+…+ a

lim

+ a

lim

=[2.5]=

x→±∞

n−1

x→±∞ x

x→±∞ xn−1

x→±∞

x→±∞ xn

= ±∞ (an +0 +…+0 +0)= ±∞ an =[по правилу 4] = ±∞.

Итак, любой многочлен, степень которого не меньше 1, является бесконечно большой функцией при x → ±∞.

Пример 2.4. Вычислить lim sin (ex ) . x→−∞

Решение. Внутренняя показательная функция y = ex является бесконечно малой при x → −∞, так как ее основание e >1. Внешняя функция z =sin y непрерывна в точке 0. По формуле (2.6) имеем:

lim	sin (ex ) =sin ( lim ex ) =sin 0 = 0 .
x→−∞	x→−∞
Пример 2.5. Вычислить lim x2		+ 2x −1 .
	x→±∞

Решение. Сначала применим к многочлену, стоящему под корнем, прием, рассмотренный в примере 2.3.

+ 2x −1

−

=[восполь-

lim

x→±∞

зуемся формулой о пределе произведения и учтем, что

x2 =

] =

= lim

lim

1 +

−

=[применим

формулу

о пределе композиции

x→±∞

функций] =

lim

−

= +∞

= +∞.

x→±∞

Рассмотрим предел lim

. Согласно результату, полу-

+ 2x −1 − x

x→+∞

ченному в примере 2.5, имеем:	lim	x2 + 2x −1 − x	= +∞ −	(	+∞ . Одна-
				(	)
	x→+∞

ко данная операция над бесконечно удаленными точками не определена. При столкновении с какой-либо из неопределенных ситуаций: ∞ −∞, 0 ∞, ∞∞, 00 ,

принято говорить, что имеет место неопределенность соответствующего типа. Процесс вычисления предела в случае наличия неопределенности принято называть «раскрытием неопределенности». Раскрытию неопределенностей различных типов будет посвящен следующий раздел, в котором вернемся к подобному пределу.

2.2. Предел дробно-рациональной функции

Дробно-рациональной функцией называется частное двух многочленов

P(x)

a xn + a

xn−1

+…+ a x + a

R(x) =

n−1

, где a

≠ 0 , b

≠ 0.

Q(x)

bs xs +bs−1xs−1

+…+b1x +b0

Интерес представляют два типа задач:

Вычислить

lim

P(x)

. Неопределенность типа

∞ .

x→∞ Q(x)

∞

2. Вычислить lim P(x) , где x0 – корень многочленов P(x) и Q(x)

x→x0 Q(x)

[2, 21]. Неопределенность типа 00 .

При вычислении lim P(x) могут возникнуть три различные ситуации.

x→∞Q(x)

Пример 2.6. Вычислить lim	x3 + x		.
	−3x2
x→∞ x4		+1

Решение. Так как числитель и знаменатель дроби – бесконечно большие функции, то имеем дело с неопределенностью ∞∞ .

x3 + x

∞

= [в числителе и знаменателе вынесем за скобки

lim

x→∞ x4 −3x2 +

∞

1 +

наивысшую степень x ] =

lim

= lim

x→∞

1 −

x 1 −

1 +

= lim

[воспользуемся

формулами

(2.1) – (2.4)] =

x→∞ x

1 −

lim

= lim

x→∞

= 0 .

−0 +0

x→∞ x

lim

−

x→∞

Пример 2.7. Вычислить

lim

4x4 −5x

x→−∞ −2x2 −3x

Решение. Выполним те же преобразования, что и в примере 2.6 и вос-

пользуемся правилом 4:

−

−5x

∞

lim

= lim

∞

x→∞ −2x2 −3x + 2

x→−∞

−2 −

lim

4 −

4 −0

x→−∞

= lim

= +∞

= +∞(

−2)

= −∞.

−2 −0 +0

x→−∞

lim

−2

−

x→−∞

Пример 2.8. Вычислить

lim

−3x3 + x +1

x→∞ 3x3 + x2 +1

−3

−3x

+ x +1

∞

Решение.

lim

x→∞ 3x3 + x2

∞

x→∞

−3 +

lim

−3 +0 +0

= lim

x→∞

= –1.

3 +0 +0

x→∞

3 +

lim

3 +

x→∞

Обобщим результаты, полученные в примерах 2.2 – 2.8:

	a	n	xn + a	n−1	xn−1	+… + a x + a		0
lim		n		n−1		1		0
lim						+…+ b x + b
x→∞ b xs + b					xs−1	+…+ b x + b
		s		s−1		1	0


		0, åñëè n < s;
= ∞		∞, åñëè n > s;		(2.7)
= ∞	=	∞, åñëè n > s;		(2.7)
∞		an
		an	, åñëè n = s.
			, åñëè n = s.
	b
		s

Пример 2.9. Вычислить lim	(x +1)3 −(x −1)3
	x2	.
x→∞		+1

Решение. Сначала раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе, а затем, сравнив степени многочленов, стоящих в числителе и знаменателе, по формуле (2.7) вычислим предел:

(x +1)3 −(x −1)3

∞

= lim

x3 +3x2 +3x +1 −(x3 −3x2 +3x −1)

lim

x2 +1

x→∞

∞

x→∞

lim

6x2

+ 2

= 6 .

x→∞ x2

Обратите внимание, что в ходе преобразования числителя третьи степени неизвестного сокращаются, а значит, числитель есть многочлен второй, а не третьей степени. Если этого не заметить и сразу воспользоваться формулой (2.7), то получится неверный ответ ∞!


При вычислении	lim	P(x)	, где x			– корень многочленов P(x) и Q(x)
При вычислении	lim		, где x			– корень многочленов P(x) и Q(x)
	x→x0 Q(x)				0
	x→x0 Q(x)
также возникают три различные ситуации.
Пример 2.10. Вычислить lim				x3	− x2	− x +1	.
Пример 2.10. Вычислить lim							.
		x→1 x3 −3x + 2

Решение. Найдем значения числителя и знаменателя в	точке	1:
P(1)=1 −1 −1 +1 = 0, Q(1)=1−3 + 2 = 0 . Значит, многочлены P(x)	и Q(x)	–

бесконечно малые функции при x →1. Мы имеем дело с неопределенностью

0 . Число 1 является корнем обоих многочленов, следовательно, они делятся

(x −1),

на линейный многочлен

который и порождает неопределенность.

Разделим числитель и знаменатель дроби на (x −1) «уголком» [2, 19]:

−x3

−3x + 2

x −1

−x

− x

− x +1

x −1

− x2

x2 + x −2

−x2 −3x + 2

x3 − x2

x2 −1

−−x +1

x2 − x

−−x +1

−x +1

Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на (x −1):

x3 − x2 − x +1

(x −1)(x2 −1)

(x2 −1)

lim

= lim

−3x + 2

−2)

x→1 x3

x→1 (x −

1)(x2 + x −2)

x→1 (x2 + x

Проверим, уничтожило ли данное преобразование неопределенность.

ВычислИВ значения многочленов x2 −1 и x2 + x −2 в точке 1, видим, что неопределенность сохранилась. Снова разложим числитель и знаменатель полученной дроби на множители и сократим общий множитель (x −1). Как

только неопределенность уходит, можно воспользоваться формулами о пределе частного и суммы функций:

lim

(x2 −1)

= lim

(x −1)(x +1)

= lim

(x +1)

1 +1

+ x −2)

(x −1)(x + 2)

(x + 2)

1 + 2

x→1 (x2

x→1

Напомним,

что

число x0 называется

корнем

многочлена кратности

k, k

, если многочлен делиться нацело на

(x − x )k

, но уже не делится на-

цело на

(x − x )k +1

. Если k =1, то говорят, что корень

x простой.

В примере 2.10 число x =1 является корнем многочленов P(x) и Q(x) кратности 2.

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 1k2s_all

#
09.02.2015510.96 Кб891k1s_lim.pdf
#
09.02.2015136.7 Кб131k2s_MA.DOC
#
09.02.20155.67 Mб432k3s_f-i_nesk_perem.doc
#
09.02.20151.09 Mб63Производные4.doc