Uchebnoe_posobie_Optika

Формула тонкой линзы

Линза называется тонкой, если ее толщина много меньше радиусов кривизны поверхностей линзы.

Если расстояние от предмета Пр до линзы d, а расстояние от линзы до изображения Из равно f, то между этими расстояниями и фокусным расстоянием линзы F существует соотношение, которое называется формулой тон-

Если изображение мнимое, то перед слагаемым 1 ставится знак минус. D – f

оптическая сила линзы.

Между оптической силой и радиусами кривизны поверхностей тонкой линзы R1 и R2 существует связь:

где n и n0 абсолютные показатели преломления линзы и окружающей среды. Формула справедлива для вогнуто-выпуклой линзы, обращенной выпуклой стороной к источнику света (предмету). Для двояковы-

пуклой линзы радиус R2 нужно брать отрицательным, т.к. поверхность линзы с этим радиусом для потока падающих на нее лучей, направление которого показано стрелкой, не выпуклая, а вогнутая. Из формулы следует, что если окружающая среда имеет больший абсолютный показатель преломления, чем тело линзы (n0 > n), то оптическая сила линзы D меняет знак. Например, пузырек воздуха в воде, являясь двояковыпуклой линзой, – рассеивающая линза.

Оптическая сила линзы измеряется в диоптриях [дптр]. Диоптрия – это оптическая сила линзы с фокусным расстоянием 1 метр. 1 дптр = 1 м -1.

Формула тонкой линзы для рассеивающей линзы имеет вид:

1 1 1 D d f F

Изображение в рассеивающих линзах мнимое, которое на рисунке показано пунктиром.

Оптическая сила рассеивающих линз отрицательная. Поэтому, собирающие линзы, у которых D>0 называются положительными, их обозначают в рецептах

(+). Рассеивающие линзы, у которых D<0

– отрицательными, их обозначают в рецептах (–).

Оптическая сила системы линз, сложенных вплотную, равна алгебраической

11

n

(с учетом знака) сумме оптических сил каждой линзы: D Di

i 1

Отношение линейных размеров изображения и предмета называется линейным увеличением линзы. Отрицательным значениям линейного увеличения соответствует действительное изображение (оно перевернутое), положительным — мнимое изображение (оно прямое). Комбинации собирающих и рассеивающих линз применяются в оптических приборах, используемых для решения различных научных и технических задач.

Аберрации (погрешности) оптических систем

Линзы со сферической поверхностью удобны в производстве, но при широких, непараксиальных пучках лучей дают ряд погрешностей в изобра-

жении – аберраций.

Аберрации бывают геометрические: сферическая, астигматизм, кривизна поля изображения, дисторсия, кома изображения и хроматическая.

Геометрические аберрации обусловлены тем, что сферическая поверхность не обладает фокусом, т.е. точкой, где собираются параллельные лучи, падающие на эту поверхность. Только если на сферическую линзу падает параксиальный пучок лучей, можно пренебречь эффектом отсутствия фокуса и считать, что лучи собираются в одной точке – фокусе. Линзы с параболическими поверхностями лишены этого недостатка, но сложны в изготовлении.

Сферическая аберрация связана с тем, что края линзы со сферическими поверхностями преломляют сильнее, чем центральная часть. Резкость изображения теряется.

Кривизна поля изображения. У сферической линзы фокальная поверхность является не плоскостью, а сферой. Поэтому, невозможно одновременно резкое изображение на экране больших предметов в центральной части и на периферии.

Дисторсия изображения обусловлена тем, что при широких пучках лучей линейное увеличение точек предмета зависит от расстояния от главной оптической оси линзы. Вследствие этого, прямые линии изображения становятся дугообразными и изображение искажается.

Кома изображения возникает вследствие сочетания сферической аберрации и астигматизма. Например, изображение точки расположенной не на главной оптической оси линзы напоминает комету с хвостом, отчего и произошло название этого вида аберрации.

Хроматическая аберрация обусловлена тем, что вследствие дисперсии света, лучи с различной длиной волны преломляются неодинаково. За счет этого, контуры изображения приобретают вид спектрально окрашенных полос.

Аберрации можно ослабить либо диафрагмированием луча (но это уменьшает яркость изображения), либо добавляя к основной линзе дополнительную с определенным соотношением между показателями преломления

12

вещества линз и радиусами кривизны их поверхностей – условие Петцваля. Аберрация дополнительной линзы должна иметь характер, противоположный основной.

При сложном составе света необходимо учитывать зависимость коэффициента преломления вещества линзы (и окружающей среды, если это не воздух) от длины волны (явление дисперсии). При падении на оптическую систему белого света отдельные составляющие его монохроматические лучи фокусируются в разных точках (наибольшее фокусное расстояние имеют красные лучи, наименьшее – фиолетовые), поэтому изображение размыто и по краям окрашено. Это явление называется хроматической аберрацией. Так как разные сорта стекол обладают различной дисперсией, то комбинируя собирающие и рассеивающие линзы из различных стёкол, можно совместить фокусы двух (ахроматы) и трёх (апохроматы) различных цветов, устранив тем самым хроматическую аберрацию. Системы, исправленные на сферическую и хроматическую аберрации, называются апланатами.

Астигматизм – это аберрация, обусловленная неодинаковым преломлением лучей в различных меридианных плоскостях. Меридианной называется плоскость, проходящая через главную оптическую ось линзы.

Астигматизм может быть обусловлен: 1). Отклонением поверхности линзы от правильной сферической формы. В этом случае он связан с различием радиусов кривизны поверхности линзы в различных меридианных плоскостях; 2). Большим углом наклона лучей к главной оптической оси линзы (непараксиальность лучей) – астигматизм косых пучков.

В глазе возможен только первый вид астигматизма, т.к. глаз всегда поворачивается в сторону рассматриваемого предмета.

Рассмотрим ход лучей при астигматизме в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Причем в одной плоскости лучи наклонны к главной оптической оси, а в другой параллельны ей. Фокусы F1 и F2 во взаимно-пер- пендикулярных плоскостях при астигматизме расположены на разных расстояниях от оптического центра линзы. На экране между точками F1 и F2 будет светлое пятно овальной формы. В точках F1 и F2 – взаимно перпендикулярные линии. Изображение предмета теряет резкость и искажается.

Если максимальная разница в радиусах кривизны существует во взаимно перпендикулярных плоскостях, то такой астигматизм называется пра-

вильным.

Одним из примеров правильного астигматизма является изображение, созда-

ваемое цилиндрической линзой.

13

2.3. Основные фотометрические величины и их единицы

Фотометрия – раздел оптики, занимающийся вопросами измерения интенсивности света и его источников. В фотометрии используются следующие величины: 1). Энергетические – характеризуют энергетические параметры оптического излучения безотносительно к его действию на приемники излучения; 2). Световые – характеризуют физиологические действия света и оцениваются по воздействию на глаз (исходят из так называемой средней чувствительности глаза) или другие приемники излучения.

1. Энергетические величины:

Поток излучения Фе – величина, равная отношению энергии W излу-

W

чения ко времени t, за которое излучение произошло: Фе t . Единица по-

тока излучения – ватт (Вт).

Энергетическая светимость (излучательностъ) Re – величина, рав-

ная отношению потока излучения Фе, испускаемого поверхностью, к площа-

ди S сечения, сквозь которое этот поток проходит: Re Фе , т. е. представля-

S

ет собой поверхностную плотность потока излучения. Единица энергетиче-

ской светимости – ватт на метр в квадрате (Вт/м2).

Энергетическая сила света (сила излучения) Iе определяется с помо-

щью понятия о точечном источнике света – источнике, размерами которого по сравнению с расстоянием до места наблюдения можно пренебречь. Энергетическая сила света Iе – величина, равная отношению потока излучения Фе источника к телесному углу , в пределах которого это излучение распро-

страняется: Ie Фе . Единица энергетической силы света – ватт на стера-

диан (Вт/ср).

Энергетическим яркость (лучистость) Ве – величина, равная отно-

шению энергетической силы света Iе элемента излучающей поверхности к площади S проекции этого элемента на плоскость, перпендикулярную на-

правлению наблюдения: Be Iе . Единица энергетической яркости – ватт

S

на стерадиан-метр в квадрате [Вт / ср м2)].

Энергетическая освещенность (облученность) Ее характеризует ве-

личину потока излучения, падающего на единицу освещаемой поверхности. Единица энергетической освещенности совпадает с единицей энергетической светимости (Вт/м2).

2. Световые величины:

При оптических измерениях используются различные приемники излучения (например, глаз, фотоэлементы, фотоумножители), которые не обладают одинаковой чувствительностью к энергии различных длин волн, явля-

14

ясь, таким образом, селективными (избирательными). Каждый приемник излучения характеризуется своей кривой чувствительности к свету различных длин волн. Поэтому световые измерения, являясь субъективными, отличаются от объективных, энергетических и для них вводятся световые единицы, используемые только для видимого света.

Основной световой единицей в СИ является единица силы света – кандела (кд). Определение световых единиц аналогично энергетическим.

Световой поток Ф определяется как мощность оптического излучения по вызываемому им световому ощущению (по его действию на селективный приемник света с заданной спектральной чувствительностью). Единица светового потока – люмен (лм): 1 лм – световой поток, испускаемый точечным источником силой света в 1 кд внутри телесного угла в 1 ср (при равномерности поля излучения внутри телесного угла). 1 лм = 1 кд ср.

Ф

Светимость R определяется соотношением: R S . Единица свети-

мости – люмен на метр в квадрате (лм/м2).

Яркость B светящейся поверхности в некотором направлении есть величина, равная отношению силы свет I в этом направлении к площади S проекции светящейся поверхности на плоскость, перпендикулярную данному

I

направлению: B Scos . Единица яркости – кандела на метр в квадрате

(кд/м2).

Освещенность Е – величина, равная отношению светового потока Ф,

Ф

падающего на поверхность, к площади S этой поверхности: E S . Единица

освещенности – люкс (лк): 1 лк – освещённость поверхности, на 1 м2 которой падает световой поток в 1 лм (1 лк = 1 лм/м2).

2.4. Оптическая система микроскопа

Микроскоп – это оптическая система, предназначенная для получения увеличенного изображения предметов малых размеров.

История не сохранила имени изобретателя микроскопа. По-видимому, идея микроскопа была известна уже Галилею. Самым знаменитым микроскопистом XVII века был Гук. Он построил микроскоп и на основе своих исследований в 1665 г. написал книгу “Микрография”. Превосходные микроскопы изготовлял Левенгук, который стал основоположником микробиологии.

Построение изображения в микроскопе

Рассмотрим один из способов построения изображения в микроскопе: Оптическая система простейшего микроскопа состоит из объектива

(линза Лоб) и окуляра (линза Лок).

15

Предмет размером h помещают несколько дальше переднего фокуса объектива FOБ . Объектив даёт промежуточное изображение величиной Η (действительное, обратное, увеличенное, находящееся за двойным задним фокусом).

Это промежуточное изображение рассматривается в окуляр, как через лупу. При этом промежуточное изображение Η находится между передним фокусом окуляра FOK и оптическим центром линзы

окуляра Лок. Глаз обра-

зует изображение размером Η (мнимое, прямое, увеличенное, находящееся перед

линзой окуляра), которое расположено на расстоянии наилучшего зрения S ~ 25 см от оптического центра глаз. При этом оптический центр глаза должен располагаться в заднем фокусе линзы окуляра. На сетчатке глаза образуется действительное изображение предмета.

Увеличение микроскопа

Увеличение микроскопа – это отношение размеров мнимого изобра-

H

жения к размерам рассматриваемого через микроскоп предмета: K h .

Умножим числитель и знаменатель формулы на размер промежуточного изображения Η:

ное отношению размеров промежуточного изображения к размерам предме-

H

та, а Kок Н – увеличение окуляра, равное отношению размеров мнимого

изображения к промежуточному изображению, которое рассматривается через окуляр.

Таким образом, увеличение микроскопа равно произведению увеличения объектива на увеличение окуляра. Увеличение объектива можно выразить через характеристики микроскопа, используя подобие прямоугольных

16

кусом объектива и передним фокусом окуляра – оптическая длина тубуса микроскопа. В полученной формуле Fo6 означает фокусное расстояние объектива. При выводе учтено, что предмет h находится вблизи переднего фокуса объектива, а промежуточное изображение Η находится вблизи переднего фокуса окуляра.

Увеличение окуляра также можно выразить через характеристики мик-

H S

роскопа, используя подобие прямоугольных треугольников: Kок Н Fок ,

где Fок в данном случае расстояние от оптического центра линзы окуляра до заднего фокуса окуляра – фокусное расстояние окуляра. При выводе использовано, что линия, идущая от вершины промежуточного изображения, параллельная главной оптической оси микроскопа, отсекает на главной плоскости линзы окуляра Лок отрезок, равный величине промежуточного изображения

При выводе формулы учтено, что L >> Fo6 .

Для определения истинных размеров рассматриваемого предмета h используют окулярный микрометр (его контур на рисунке показан пунктиром).

Простейший окулярный микрометр представляет собой устройство, где вместе с линзой окуляра Лок в плоскость, где возникает промежуточное изображение Н, помещена шкала окулярного микрометра

Шок, позволяющая определить размер изображения Η.

Для определения размеров предмета h необходимо знать реальное уве-

Н

личение объектива Kоб h , которое зависит от увеличения используемого

окуляра, т.к. в зависимости от типа окуляра меняется необходимое для четкого рассмотрения расположение предмета h относительно линзы объектива Лоб. С целью определения увеличения объектива используется объектный микрометр со шкалой Шоб, помещаемый в плоскости предмета h. Зная реальное увеличение объектива и размер промежуточного изображения Н'

личение обычного биологического микроскопа составляет К 60.

Предел разрешения микроскопа. Элементы теории Аббе.

Разрешающей способностью микроскопа называют способность да-

вать раздельное изображение двух близко расположенных точек исследуемого объекта.

17

Предел разрешения микроскопа – это наименьшее расстояние между двумя точками, когда эти точки воспринимаются отдельно.

Согласно теории Аббе действительное изображение, получаемое с помощью линзы, возникает в результате следующих процессов и условий:

1. Свет, освещающий предмет, претерпевает дифракцию на предмете, находящемся перед передним фокусом линзы. Дифрагировавшие лучи проходят через линзу и преломляются в ней. В задней фокальной плоскости линзы возникает дифракционная картина изображения.

2.В плоскости изображения дифрагировавшие лучи, прошедшие линзу, интерферируют, в результате чего получается действительное изображение предмета.

3.Для получения изображения, например, дифракционной решетки, даже самого нечеткого, необходимо, чтобы в процессе интерференции участвовали лучи любых двух порядков дифракционной картины, обычно нулево-

го k=0 и хотя бы одного из первых дифракцион-

изображения щелей дифракционной решетки ДР при их прямом освещении. Дифракционная решетка устанавливается перед передним фокусом линзы Л. Для получения изображения, в соответ-

При прямом освещении предмета и выполнении 3-его условия, на линзу обязательно попадут лучи порядков k =+1 и k= -1. При этом лучи этих порядков отклоняются от главной оптической оси линзы на максимальный угол θ, как показано на рисунке Угол θ носит название апертурного угла линзы.

Апертурный угол – это угол, образованный главной оптической осью и линией, проведенной из точки пересечения предмета и главной оптической оси к краю линзы.

Апертурный угол ограничивает конус световых лучей попадающих на линзу, например, объектива микроскопа.

Так как дифракционная картина, получаемая в условиях, показанных на рисунке, уже позволяет получить изображение дифракционной решетки, то предел разрешения линзы объектива микроскопа в этом случае будет равен периоду дифракционной решетки. Из

между предметом и объективом микроско-

па среда имеет показатель преломления

п.

Предел разрешения микроскопа может быть меньше, если использовать косое освещение предмета.

18

Как видно из рисунка, апертурный угол при косом освещении предмета возрастает. Точный расчет показывает, что предел разрешения микроскопа в

этом случае можно рассчитать по формуле: Z 2nsin . Следовательно, ко-

сым освещением исследуемого предмета можно добиться уменьшения предела разрешения вдвое, т.е. рассмотреть более мелкие детали предмета. Поэтому, при исследовании какого-либо объекта через микроскоп, необходимо варьировать направление освещения с помощью освещающего предмет зеркала, добиваясь наибольшей четкости изображения.

Практически, предел разрешения микроскопа будет несколько больше в связи с распределением интенсивности I освещения в дифракционной картине. Предел разрешения ограничивается условием Рэлея.

Две близкие точки будут наблюдаться раздельно, если середина центрального (k=0) дифракционного максимума для одной точки совпадает с краем центрального максимума для другой точки.

Расчеты показывают, что в соответствии с условием Рэлея, предел разрешения увеличивается: Z 1,22Z . Предел разрешения обычного био-

логического микроскопа лежит в диапазоне Zp = 3 – 4 мкм.

Теория Аббе оказала огромное влияние на развитие оптики в конце XIX века, прежде всего в Германии. Она показала, что усилия оптиков, направленные на улучшение качества поверхности линз путем более тщательной их полировки не могут привести к уменьшению предела разрешения оптической системы. Теория Аббе направила усилия микроскопистов по другим путям, прежде всего, на совершенствование точной механики оптических приборов. Она показала роль длины волны в уменьшении предела разрешения микроскопа, что, в конечном счете, привело к созданию электронного микроскопа.

2.5. Специальные приёмы микроскопии

Специальные приемы микроскопии направлены на решение в основном двух задач: уменьшение предела разрешения микроскопа и возможности наблюдения прозрачных, малоконтрастных объектов, что особенно важно в биологии. Существует множество специальных приемов микроскопии. Рассмотрим несколько наиболее распространенных.

Иммерсионный метод

Иммерсионный метод микроскопии направлен на уменьшение пре-

дела разрешения микроскопа Z nsin . Для сравнения на рисунке показан

ход лучей в обычном неиммерсионном методе слева и в иммерсионном методе справа. Поток света 1освещает исследуемый предмет 2 с некоторым вклю-

19

чением 4, находящийся на предметном столике 3 и покрытый покровным стеклом 5. В иммерсионном методе пространство между покровным стеклом и объективом микроскопа 6 заполняется иммерсионной жидкостью 7 с показателем преломления близким к показателю преломления стекла (например, глицерин n 1,45, монобромнафталин n 1,66 или кедровое масло n 1,515). За счет преломления света на границе раздела стекло – воздух, апертурный угол ни в обычном методе меньше, чем в иммерсионном методе и ( ни < и), где лучи, дифрагиро-

вавшие на включении 4, идут по среде с практически одинаковой оптической плотностью. Поэтому предел разрешения Ζ в иммерсионном методе микроскопии уменьшается за счет двух факторов: увеличенного апертурного угла и большего показателя преломления среды n между покровным стеклом и объективом. Кроме того, несколько увеличивается и яркость изображения, т.к. лучи не отражаются от границы раздела сред, а идут по практически однородной среде.

Фазово-контрастный метод

Фазовоконтрастный метод микроскопии используется для наблюдения малоконтрастных объектов.

Схема метода представлена на рисунке. Параллельные лучи потока света 1, освещая предмет, находящийся на предметном столике 3, частично проходят через него. После преломления в линзе объектива микроскопа 4 эти лучи 9, пройдя через фокус, достигают плоскости изображения 7. В заднем фокусе объектива помещается фазовая пластинка 5, которая сдвигает фазу

лучей.

Лучи 8, претерпевшие дифракцию на малоконтрастном включении 2 исследуемого предмета и прошедшие через объектив, дают изображение 2 в плоскости 7 (изображение построено с помощью побочных оптических осей, показанных пунктиром). Это изображение рассматривается через окуляр микроскопа, не показанный на рисунке.

Так как лучи 8 обходят фазовую пластинку, то возникает разность фаз между лучами 8 и 9. Если эта разность фаз достигнет половины длины волны/2, то лучи 8 и 9 погасят друг друга. В этом случае в окуляр микроскопа будет наблюдаться затемненное изображение малоконтрастных включений исследуемого предмета на светлом фоне. На рисунке показан принцип гашения лучей 8 и 9, за счет сдвига фазы φ (Ε - напряженность электрического поля в световой волне – световой вектор).

20