Вопросы к экзамену по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

1. Генеральная совокупность без повторений. Выборки без повторений.

ГСБП-это набор некоторого конечного числа n различных элементов. В ГСБП элементы не могут повторяться.

Формальная запись A={a1; a2; a3 … an}

Выборкой объёма m (m<=n) называется множество из m элементов, произвольно взятых из ГСБП.

Две выборки одинакового объёма могут отличаться друг от друга:

1) хотя бы одним элементом

2) порядком элементов

Размещение без повторений

Пусть имеется ГСБП объёмом n. Из ГСБП формируются выборки объёмом m.

Полученные выборки, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом, либо порядком расположения элементов называются размещениями без повторений из n по m элементов. Размещение является упорядоченным множеством.

Рассмотрим ГСБП: G={a, b, c} n=3

Сформируем выборки m=2, которые являются размещениями без повторений

A1=(a,b) A2=(b,a) A3=(a,c) A4=(c,a) A5=(b,c) A6=(c,b)

N=6

Число размещений без повторений обозначается и вычисляется

Перестановка без повторений

В случае когда m=n, одно размещение отличается от другого только порядком расположения элементов. Такие размещения называются перестановками без повторений. Так же являются упорядоченными множествами.

Сочетания без повторений

Сочетаниями без повторений называются множества из m элементов, сформированное из ГСБП и отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Это неупорядоченные множества.

2. Генеральная совокупность с повторениями. Выборки с повторениями.

Пусть имеется N различных классов. Каждый класс представляет собой неограниченное множество абсолютно одинаковых элементов.

Основной характеристикой ГССП является число классов N.

Выборкой с повторениями объёма m называется произвольная упорядоченная группа из m элементов, взятых из ГССП.

Размещение с повторениями.

Размещением с повторениями из элементов N классов по m элементов называются такие выборки, которые отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком.

(только N большая должна быть; пример-двоичный код)

Перестановки с повторениями.

Пусть из ГССП, имеющего N классов формируется выборка объёма m. Каждая выборка содержит mi элементов каждого класса 1<=i<=N, при этом выполняется условие m=m1+m2+m3…=mN.

Полученные выборки объёма m, отличающиеся одна от другой только порядком расположения элементов называются перестановками с повторениями по mi элементов из N классов.

(только вместо n-m)

Сочетания с повторениями.

При формировании выборки с повторениями из элементов N классов по m элементов в выборках можно выделить такие, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом (порядок не важен).

Такие выборки называются сочетаниями с повторениями.

3. Понятие события. Операции над событиями. Виды событий.

Событие является первоначальным понятием в Т.В. Под событием понимается результат некоторого эксперимента. Т.В. интересуется только тем, произошло событие или нет.

События можно разделить на три класса.

Достоверное событие - всегда происходит в эксперименте - Ω.

Невозможное событие - ∅- никогда не происходит.

Случайное событие - в одних и тех же условиях может происходить, а может не происходить, обозначается: A={расшифровка}

Например: эксперимент: подбрасываем монеты, результат эксперимента - случайное событие

A= { монета упала гербом } ,

B= { монета упала решкой } ,

C= { монета упала ребром } .

В Т.В. событие и эксперимент не разделяют.

Опр Совокупность всех событий для данного эксперимента называется пространством элементарных событий. { Оно может быть конечным или бесконечным } .

Суммой событий А и В (обозначается А+В) называют событие, состоящее в появлении хотя бы одного из двух событий А или В.

Аналогично определяется сумма большего числа событий

Пример 1: Появление чётной грани игральной кости есть сумма трёх событий: выпадение 2, выпадение 4, выпадение 6.

Произведением событий А и В (обозначается А·В) называют событие, состоящее в появлении обоих событий А и В.

Пример 2: Пусть событие А – при бросании двух монет появление герба на первой монете, событие В – появление герба на второй монете; тогда произведение А·В - ϶ᴛᴏ появление гербов на обеих монетах.

Произведение несовместных событий – событие невозможное. Сумма и произведение событий аналогичны объединению и пересечению множеств, соответственно.