cgiirbis_64 (7)

а) матриця А має трикутний вигляд; б) матриця В має трикутний вигляд;

в) матриці А та В мають трикутний вигляд. Яке з цих тверджень правильне?

7.Які з наведених співвідношень є умовами ідентифікації системи рівнянь?

Дайте означення строго ідентифікованих, надідентифікованих

інеідентифікованих рівнянь моделі.

8.Яка з двох моделей, записаних на базі системи одночасних рівнянь, має структурну чи зведену форму?

Як пов’язані між собою параметри моделей цих двох форм? 9. Які з наведених рівностей правильні?

Що вони характеризують?

10.Покажіть, чи можна оцінити параметри рекурсивної системи рівнянь 1 МНК.

11.Записати зведену форму для такої системи структурних рівнянь:

Y1t 2Y2t 7 X1t 4 X 2t X 3t 8X 4t u1t ;

Y2t 2Y1t Y3t X1t 7X 3t 9 X 5t u2t ;

Y3t 2Y1t 7 X 2t 7 X 3t 9 X 4t u3t .

12. Економетричні моделі складаються з двох рівнянь:

а) St a0 a1Yt ut ; Yt St Zt ,

86

Яка з цих моделей є структурною і яка зведеною? Як перейти від однієї до іншої?

87

де r — коефіцієнт парної кореляції; Y , X — середньоквадра-

тичне відхилення відповідно залежної і незалежної змінної.

Це співвідношення було покладено в основу алгоритму визначення альтернативної оцінки параметрів моделі за методом 1МНК. Алгоритм має назву покрокової регресії і складається з таких кроків:

Крок 1. Стандартизація (нормалізація) всіх змінних моделі:

Крок 4. Серед інших елементів матриці ryx j знову вибирається max rxy j . Якщо даному коефіцієнту кореляції відповідає

X *j 1 , то ця змінна вводиться в побудовану раніше економетрич-

ну модель. Отже,

Y * €j X *j €j 1 X *j 1

і т. д.

Процес триває доти, доки всі незалежні змінні поступово будуть включені в модель. Коли є обмеження, яке зумовлює недоцільність розширення економетричної моделі за рахунок змінних, що залишилися, то процес розрахунку закінчується раніше. Та-

88

ким обмеженням може бути співвідношення між коефіцієнтом кореляції чи детермінації, виправленим та невиправленим на число ступенів свободи.

Система нормальних рівнянь у даному алгоритмі:

Нехай елементи rYX j утворюють вектор rYX , а решта елементів rXk X j — матрицю R. Тоді система рівнянь у матричному вигляді набуде вигляду:

R € r yx

.

Звідси € R 1ryx , тобто дістанемо альтернативний оператор оцінювання параметрів моделі за методом 1 МНК.

Оскільки оцінки параметрів моделі € стосуються нормалізо-

ваних змінних, то щоб перейти до оцінок параметрів моделі, в якій змінні мають свій початковий вимір, необхідно взяти:

Множинний коефіцієнт детермінації, який визначає рівень варіації залежної змінної за рахунок незалежних, подається так:

Коефіцієнт детермінаціїбез урахуваннячисла ступенів свободи:

89

Співвідношення між ними набирає вигляду:

де R — визначник матриці r;

R11 — алгебраїчне доповнення першого елемента матриці r.

Гіпотезу про наявність чи відсутність зв’язку між залежною і незалежною змінними можна перевірити за F-критерієм:

F2P .u2

Фактичне значення F-критерію порівнюється з табличним при ступенях свободи m 1 і n m і вибраному рівні значущості.

Якщо Fфакт Fтабл , то гіпотеза про значущість (істотність) зв’язку

між залежною і незалежними змінними економетричної моделі підтверджується, у противному разі — відхиляється.

Альтернативна формула F-критерію через коефіцієнт детермінації набирає вигляду

Статистичну значущість оцінок параметрів моделі можна визначити на основі t-критерію:

90

Значення критерію t j порівнюється з табличним при вибра-

ному рівні значущості і n m ступенях свободи. Якщо tфакт tтабл , то відповідний параметр економетричної моделі є

статистично значущий.

На основі t-критерію і стандартної помилки будуються довірчі інтервали для параметрів a€j :

aj a€j t u2cjj .

Прогноз залежної змінної на основі економетричної моделі при заданих залежних змінних можна виконати згідно з таким співвідношенням:

€ € € €

Yпр t S Y Y Yпр t S Y .

Уцьомуспіввідношенні S y€ єстандартноюпохибкоюпрогнозу:

S y€ u2 X p X X 1 X p ,

де X p — прогнозні значення незалежних змінних; X p — матриця, транспонована до матриці Хр.

Приклад. Нехай необхідно побудувати економетричну модель продуктивності праці. Як відомо, продуктивність праці є одним з найважливіших показників ефективності використання робочої сили. У цьому показнику відбиваються всі чинники економічної діяльності: технічний рівень та використання основних виробничих фондів, організація виробництва і праці, соціальноекономічна характеристика трудового колективу та умови його життя і діяльності. Щоб керувати рівнем продуктивності праці, приймати обґрунтовані рішення щодо його зміни в перспективі, необхідно знати, якою мірою той чи інший чинник економічної діяльності впливає на продуктивність праці. Базуючись на прогнозних значеннях основних чинників, що впливають на продуктивність праці, можна визначити реальний рівень її зростання на перспективу.

Найпридатнішими для побудови економетричної моделі продуктивності праці є такі аналітичні форми функцій:

лінійна;степенева.

Запишемо загальний вигляд цих функцій:

лінійна — Y a0 a1 X1 a2 X 2 a3 X3 a4 X 4 ... am X m u ; (1)

91

де Y — продуктивність праці, залежна змінна;

X j j 1, 2, 3,..., m — чинники економічної діяльності, що впли-

вають напродуктивність праці(незалежні абопояснювальнізмінні); u — стохастична складова, яка акумулює в собі вплив усіх ви-

падкових чинників;

aj j 0, 1, 2, ..., m — параметримоделіпродуктивностіпраці.

Лінійна форма моделі продуктивності праці відтворює адитивний закон формування продуктивності праці (рівень продуктивності праці є сума часток, що їх вносить у загальний рівень кожний чинник).

Степенева форма відтворює мультиплікативний закон формування продуктивності праці (рівень продуктивності праці є добуток часток, що їх вносить у загальний рівень кожний чинник).

Неважко помітити, що узявши логарифми (натуральні або десяткові) лівої та правої частин виразу (2), можна перейти від степеневої до лінійно-логарифмічної моделі продуктивності праці:

lnY ln a0 a1 ln X1 a2 ln X 2 a3 ln X3 ... am ln X m ln u ,

тобто степенева функція реалізується як лінійна, якщо вихідні дані для побудови моделі брати не в абсолютних одиницях їх виміру, а в логарифмах.

Побудувати модель продуктивності праці — це означає оцінити параметри моделі aj j 0, 1, 2, ..., m .

Однією з основних економічних характеристик моделі проду-

ктивності праці є показник середньої ефективності чинників,

для визначення якого треба взяти відношення: Y x j / x j .

Цей показник визначає, як у середньому зміниться продуктивність праці, якщо j-й чинник змінюється на одиницю, а решта m 1 є сталими.

Оскільки на параметри моделі (2) можна накладати обмеження:

1 aj 1 j 1, 2, 3, ..., m ,

то з огляду на показник середньої ефективності чинників можна стверджувати: коли в моделі (2) збільшити лише один чинник, а решту залишити без зміни, то середня ефективність робочої сили знизиться. Це відповідає економічній дійсності. Наприклад, якщо серед m чинників є фондомісткість продукції, то вона збільшиться на одиницю, а решта чинників залишаться без змін. Отже, від-

92

ношення продуктивності праці до фондомісткості зменшиться. Справді, продуктивність праці зростатиме лише в тому разі, коли збільшення основних фондів скорочуватиме частку ручної праці, вивільняючи робочу силу.

Другою впливовою економічною характеристикою є показ-

ник граничної ефективності:

€

Y .xj

Він характеризує граничну зміну продуктивності праці чинників залежно від зміни певного чинника на одиницю за умови, що решта чинників не змінюються.

Для моделі (1) гранична зміна продуктивності праці від кожного чинника визначається параметром моделі aj j 1, 2, 3, ..., m ,

тобто вона є незмінною для кожного спостереження вихідної сукупності даних. Для моделі (2) гранична зміна продуктивності праці буде змінюватись зі зміною чинників, оскільки:

Ця залежність свідчить, що гранична ефективність продуктивності праці менша за середню. Графічно це можна зобразити так:

Співвідношення граничної ефективності чинників та її аб-

солютних значень є мірою ефективності використання чин-

ників:

€

j Y : x j .x j

Максимальна продуктивність досліджуваних чинників досягається тоді, коли річний приріст від використання однієї додаткової одиниці дорівнює вартості цієї одиниці, тобто коли

j 1 .

Відносна гранична ефективність чинників називається коефіцієнтом еластичності й обчислюється так:

Коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків зміниться рівень продуктивності праці зі зміною відповідного чинника на 1% (інші незмінні).

Для лінійної моделі продуктивності праці цей показник дорівнює:

EY / X j a j : XY j a j XY j ,

тобто він змінюється для кожного спостереження, оскільки залежить від значення Y та X j . Середній коефіцієнт еластичності для

всієї сукупності спостережень визначається так:

EYX j a j XY j ,

X j , Y — середні значення вихідних даних.

У степеневій моделі продуктивності праці коефіцієнти еластичності є сталими для кожного спостереження сукупності і дорівнюють параметрам цієї моделі a j j 1, 2, 3, ..., m :

EY X j aj .

Модель продуктивності праці дає змогу знайти різні комбінації значень чинників, при яких забезпечується заданий (фіксований) рівень продуктивності праці.

94