cgiirbis_64 (7)

І нарешті, очікуваний рівень залежної змінної на основі економетричної моделі, побудованої за методом Ейткена, дещо вищий, ніж за методом 1МНК. Це зумовлюється тим, що метод Ейткена вимагає включення системної складової залишків.

Завдання для самостійної роботи

Згідно з варіантами вихідних даних завдання1 виконати такі дії:

1)дослідити залишки на наявність автокореляції;

2)визначити матрицю S 1 ;

3)оцінити параметри економетричної моделі методом Ейткена;

4)обчислити матрицю коваріацій та стандартні похибки оцінок параметрів;

5)оцінити достовірність моделі та її параметрів;

6)визначити точковий та інтервальний прогнози залежної змінної;

7)виконати порівняльний аналіз економетричних моделей та кількісних характеристик взаємозв’язку, побудованих методом 1МНК і методом Ейткена.

Завдання для контролю знань

1.Серед наведених співвідношень знайдіть оператор оцінювання за методом Ейткена. Коли застосовується цей оператор?

Запишіть матрицю S 1 в цьому операторі.

2. Серед наведених формул знайдіть незміщену оцінку дисперсії вектора А за методом Ейткена.

143

Як знайти незміщену оцінку для дисперсії залишків? 3.Знайдіть серед наведених співвідношень формулу визначен-

ня коваріації залишків.

Що характеризують параметри цього співвідношення? Як його можна дістати?

4.Наведені співвідношення містять критерії перевірки наявності автокореляції залишків. Знайдіть ці критерії. Як вони називаються і які висновки можна зробити, базуючись на значеннях цих коефіцієнтів?

5.Серед наведених співвідношень знайдіть ті, які характеризують:

1)гомоскедастичність;

144

2)гетероскедастичність;

3)автокореляцію.

6.Наведені два співвідношення, які є складовою частиною певного алгоритму. Що це за алгоритм і коли він застосовується?

Серед відповідей знайдіть правильну і запишіть цей алгоритм повністю для визначення:

7.Модель виду Yt a j X t ut — так звана модель розподі-

j 0

леного лагу — задовольняє умови:

1)

2)

3)

4)

5)

Як називається послідовність a a j : j 0, 1, 2 ... .

8.Яка з двох наведених моделей є моделлю розподіленого лагу

і узагальненою моделлю розподіленого лагу?

9.У поданій взаємній кореляційній функції відсутні певні множники в чисельнику і знаменнику. Знайти ці множники, визначити зміст та призначення даної функції, а також установити, на якій множині містяться її значення.

145

10.На рисунку наведено корелограму взаємної кореляційної функції

r(ф)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ф

Знайдіть часовий лаг і запишіть у загальній формі модель розподіленого лагу на основі цієї корелограми.

11.При оцінюванні параметрів моделей розподіленого лагу відносно залишків можна прийняти такі гіпотези.

Гіпотеза 1. vt N 0, v2 .

Гіпотеза 2. vt ut ut 1, 0 1 ;

а) ut N 0, u2 ;

б) ut ut 1 t , 1, t N 0, 2 .

Запишіть формули для визначення параметрів a€ і r , які є в наведених співвідношеннях. Що вони означають?

146

13.Якщо залишки мають вигляд vt ut ut 1 , де ut автокоре-

льовані, тобто ut ut 1 t , то оцінка параметра буде мати зміщення, яке дорівнює: _________________________________ .

Чи матиме такий самий рівень зміщення оцінка параметрів моделі a€?

14.Порівняйте три форми моделей розподіленого лагу:

1)Yt a w j t ut ;

j 0

2)Yt w 1 Xt Yt 1 ut ut 1 ; 3)Yt a0 Xt a1 Xt 1 1 a2 D Xt 2 ut .

Чим вони різняться? Що означають параметри w , , D ?

15.Модель розподіленого лагу має загальний вигляд

Yt a0 a1 X1 t ut .

Для різних значень лагу наведено коефіцієнти взаємної кореляції Х1 і Х2:

Знайдіть лаг для кожної змінної і конкретизуйте дану модель.

16.Коли залишки для моделі розподіленого лагу подаються у вигляді

vt vt 1 t , 1 ,

для оцінювання параметрів моделі застосовується метод Уолліса. Опишіть його алгоритм. Замість якої змінної в моделі взято

інструментальну змінну?

147

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 3

ПОБУДОВА ЕКОНОМЕТРИЧНОЇ МОДЕЛІ НА ОСНОВІ СИСТЕМИ ОДНОЧАСНИХ СТРУКТУРНИХ РІВНЯНЬ

Основні теоретичні положення

При вивченні складних економічних явищ економетричний аналіз може базуватися на системі рівнянь, причому деякі змінні Yt, Xt можуть входити більш ніж в одне рівняння, кожне з яких описує змінну та її взаємозв’язок з певними чинниками.

Такі економетричні моделі називаються системами одно-

часних структурних рівнянь.

Cистема одночасних рівнянь містить ендогенні та екзогенні змінні.

Ендогенними є ті змінні, які визначаються внутрішньою структурою досліджуваного економічного явища, тобто їх значення вивчаються на основі економетричної моделі (залежні змінні).

Екзогенні змінні не залежать від внутрішньої структури економічного явища і їх значення задаються поза моделлю (пояснювальні змінні).

Структурна і зведена форми систем одночасних рівнянь, рекурсивні системи

Одночасні моделі мають дві форми: структурну і зведену. Структурна форма моделі створюється у процесі формування

моделі, спрямованому на відбиття причинно-наслідкового механізму, що реально існує. Вона дає змогу простежити вплив змін екзогенних змінних моделі на значення ендогенних змінних.

Припустимо, що система рівнянь структурної форми моделі сумісна. Тоді цю систему можна розв’язати щодо ендогенних змінних. Результатом такого розв’язування буде зведена форма моделі.

Нехай система одночасних рівнянь містить k ендогенних і m екзогенних змінних. Позначимо Y1t, Y2t, ..., Ymt ендогенні, а X1t, X2t,

..., Хkt екзогенні змінні; t — спостереження (t = 1, 2, ..., n) і запишемо структурну форму системи одночасних рівнянь у розгорнутому вигляді:

147

Структурну форму системи одночасних економетричних рівнянь можна подати й у матричному вигляді

де А — невироджена матриця невідомих параметрів при ендогенних змінних розмірності (k k);

В — матриця невідомих параметрів при екзогенних змінних розмірності (k m);

Yt — вектор ендогенних змінних розмірності (k 1); Хt — вектор екзогенних змінних розмірності (m 1); ut — вектор випадкових залишків розмірності (k 1).

До структурної форми системи одночасних рівнянь можуть увійти також балансові рівняння або тотожності, які відбивають балансові зв’язки між деякими змінними та об’єднують регресійні рівняння в систему. Характерною ознакою цих моделей є те, що ендогенна змінна, будучи залежною в одному з рівнянь системи, може відігравати роль незалежної, тобто пояснювальної, змінної в іншому рівнянні.

Систему (1) можна розв’язати відносно ендогенних змінних Y1t, Y2t, ..., Ykt (припускаємо, що ранг системи дорівнює t). Тоді дістанемо зведену форму:

Кожна ендогенна змінна у зведеній формі міститься лише в одному рівнянні і залежить (коли не брати до уваги залишків) тільки від екзогенних змінних. Залишки Vt тут є лінійними функціями залишків ut, а коефіцієнти rij — лінійними функціями коефіцієнтів структурної форми.

Зведену форму (3) у матричному вигляді можна подати так:

148

де R = –А–1В, vt = A–1ut; R — матриця коефіцієнтів зведеної форми розмірності (m · m);

vt — вектор-стовпець, складений з лінійних комбінацій випадкових змінних ut, присутніх у структурній формі рівнянь.

Частинним випадком системи одночасних рівнянь є рекурсивні системи, в яких матриця А параметрів ендогенних змінних має трикутний вигляд, а випадкові залишки не корелюють між собою.

Визначення ідентифікованості системи одночасних рівнянь

Не завжди всі елементи матриць параметрів А та В можуть бути оцінені. Можливість їх оцінювання пов’язана з проблемою ідентифікації. Коли система така, що визначення будь-якого структурного рівняння в ній неможливе, то це рівняння є не ідентифікованим і не може бути оцінене взагалі. Якщо умов, які допускають оцінювання, достатньо, але й не більш того, рівняння може бути строго ідентифіковане. І якщо умов більше, ніж потрібно для оцінювання рівняння, маємо його надідентифікацію.

Для оцінювання параметрів системи одночасних структурних рівнянь застосовують спеціальні методи (метод 1 МНК, який оцінює окремо кожне рівняння системи, дуже часто приводить до необґрунтованих оцінок). Найпоширенішими є двота трикроковий метод найменших квадратів.

Надідентифіковані рівняння оцінюються за допомогою двокрокового методу найменших квадратів (2 МНК).

Двокроковий метод найменших квадратів (2МНК) дістав свою назву на тій підставі, що 1 МНК тут застосовується на двох етапах.

1.На першому етапі за допомогою 1 МНК оцінюються параметри кожного регресійного рівняння, зокрема у зведеній формі, тобто оцінюється залежність між певною ендогенною змінною та всіма екзогенними змінними.

2.На другому етапі 1 МНК застосовується для оцінювання параметрів регресійних рівнянь у структурній формі, але у праву частину таких рівнянь включаються розрахункові значення ендогенних змінних, що дозволяє звільнитися від залежності пояснюючих змінних та стохастичної складової. Якщо такої залежності немає, то для оцінювання параметрів моделі доцільно застосовувати метод 1 МНК.

Формалізовано процедуру оцінювання параметрів 2 МНК опишемо у вигляді алгоритму.

149

Алгоритм 2 МНК

Крок 1. Перевіряється кожне рівняння моделі на ідентифікованість. Якщо рівняння точно ідентифіковані або надідентифіковані, то для оцінювання параметрів кожного з них можна використати оператор оцінювання:

Крок 2. Знаходження добутку матриць поточних ендогенних змінних, які містяться у правій частині моделі, та матриці всіх екзогенних змінних моделі, тобто Y1 X .

Крок 3. Обчислення матриці X X і знаходження оберненої матриці (X X ) 1 .

Крок 4. Визначення добутку X Y1 матриць усіх екзогенних і всіх ендогенних змінних у правій частині моделі.

Крок 6. Визначення добутку Y1 X матриць ендогенних змін-

них у правій частині моделі і екзогенних змінних, які внесені до даного рівняння.

Крок 7. Знаходження добутку X Y1 матриць екзогенних

змінних, які входять у дане рівняння, і ендогенних змінних правої частини системи рівнянь.

Крок 8. Визначення добутку X1 X1 матриць екзогенних змінних даного рівняння.

Крок 9. Знаходження матриці, оберненої до блочної:

Крок 10. Визначення добутку матриць X Y1 , де X — мат-

риця всіх ендогенних змінних моделі, Y1 — вектор залежної ендогенної змінної лівої частини рівняння.

Крок 11. Знаходження добутку матриць: qs Y1 X1 X1 (X X ) 1 X Y1.

150

Крок 12. Визначення параметрів моделі:

€

bs Qs 1qs .a€s

Крок 13. Обчислення s-ї залежної ендогенної змінної на основі знайдених параметрів as i bs:

€

Ys asY1 bs X1.

Крок 14. Обчислення вектора залишків в s-му рівнянні системи:

€

us Ys Ys .

Крок 16. Знаходження матриці коваріацій для параметрів кожного рівняння:

asy var a€ 2 Q 1.

€

b us s

Побудова економетричної моделі на основі системи одночасних структурних рівнянь 2 МНК

заробітної плати.

Для побудови цієї економетричної моделі скористаємося вихідними даними першої лабораторної роботи, додавши щомісячні дані про заробітну плату (табл. 1).

151