cgiirbis_64 (7)
.pdf4 |
125 |
30 |
20 |
12 |
180 |
45 |
145 |
5 |
140 |
45 |
35 |
13 |
120 |
40 |
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
150 |
50 |
40 |
14 |
135 |
5 |
55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
155 |
55 |
45 |
15 |
155 |
50 |
88 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
160 |
60 |
50 |
16 |
160 |
40 |
68 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця 14
Номер спостереження |
Споживання продукту на душу населення, т |
Ціна одиниці продукції, тис. грн. |
Витрати на виробництво 1 т продукту, млн грн. |
|
|
|
|
1 |
50 |
10 |
60 |
2 |
45 |
12 |
62 |
|
|
|
|
3 |
55 |
9 |
65 |
4 |
50 |
10 |
60 |
|
|
|
|
5 |
60 |
8 |
55 |
|
|
|
|
6 |
70 |
16 |
50 |
7 |
52 |
10 |
70 |
8 |
47 |
12 |
62 |
|
|
|
|
9 |
55 |
9 |
62 |
10 |
50 |
10 |
60 |
|
|
|
|
11 |
65 |
18 |
85 |
|
|
|
|
12 |
70 |
9 |
50 |
Таблиця 15
Номер спостереження |
Споживання продукту на душу населення, т |
Ціна одиниці продукції, тис. грн. |
Витрати на виробництво 1 т продукту, млн грн. |
|
|
|
|
1 |
50 |
10 |
60 |
2 |
45 |
12 |
62 |
|
|
|
|
3 |
55 |
9 |
62 |
4 |
50 |
10 |
60 |
|
|
|
|
5 |
60 |
8 |
55 |
|
|
|
|
6 |
70 |
6 |
50 |
7 |
55 |
5 |
20 |
8 |
57 |
6 |
22 |
|
|
|
|
9 |
56 |
7 |
20 |
10 |
59 |
8 |
25 |
|
|
|
|
11 |
51 |
9 |
20 |
|
|
|
|
12 |
58 |
10 |
15 |
Таблиця 16 |
Таблиця 17 |
|
Номер спостереження |
Споживання продукту на душу населення, т |
Ціна одиниці продукції, тис. грн. |
Витрати на виробництво 1 т продукту, млн грн. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
50 |
|
10 |
|
70 |
|
|
2 |
|
45 |
|
12 |
|
62 |
|
|
3 |
|
55 |
|
9 |
|
72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер спостереження |
Споживання продукту на душу населення, т |
Ціна одиниці продукції, тис. грн. |
Витрати на виробництво 1 т продукту, млн грн. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
50 |
|
10 |
|
90 |
|
|
2 |
|
45 |
|
12 |
|
62 |
|
|
3 |
|
55 |
|
19 |
|
82 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23
4 |
50 |
10 |
60 |
5 |
60 |
18 |
55 |
|
|
|
|
6 |
70 |
6 |
60 |
|
|
|
|
7 |
50 |
15 |
60 |
8 |
45 |
12 |
82 |
|
|
|
|
9 |
55 |
19 |
62 |
|
|
|
|
10 |
50 |
10 |
60 |
11 |
60 |
9 |
85 |
|
|
|
|
12 |
70 |
14 |
60 |
|
|
|
|
4 |
50 |
10 |
60 |
5 |
60 |
8 |
85 |
|
|
|
|
6 |
70 |
16 |
50 |
|
|
|
|
7 |
50 |
10 |
70 |
8 |
45 |
12 |
62 |
|
|
|
|
9 |
55 |
9 |
62 |
|
|
|
|
10 |
50 |
10 |
80 |
11 |
60 |
12 |
65 |
|
|
|
|
12 |
70 |
14 |
60 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця 18 |
|
|
|
|
Таблиця 19 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер спостереження |
Споживання продукту на душу населення, т |
Ціна одиниці продукції, тис. грн. |
Витрати на виробництво 1 т продукту, млн грн. |
|
|
Номер спостереження |
Споживання продукту на душу населення, т |
Ціна одиниці продукції, тис. грн. |
Витрати на виробництво 1 т продукту, млн грн. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
50 |
10 |
70 |
|
|
|
|
2 |
42 |
12 |
62 |
|
|
|
|
3 |
12 |
9 |
62 |
|
|
|
|
4 |
50 |
10 |
60 |
|
|
|
|
5 |
60 |
8 |
55 |
|
|
|
|
6 |
70 |
6 |
50 |
|
|
|
|
7 |
80 |
8 |
82 |
|
|
|
|
8 |
85 |
10 |
65 |
|
|
|
|
9 |
75 |
12 |
74 |
|
|
|
|
10 |
90 |
7 |
87 |
|
|
|
|
11 |
45 |
15 |
62 |
|
|
|
|
12 |
50 |
14 |
60 |
1 |
55 |
5 |
100 |
|
|
|
|
2 |
57 |
6 |
110 |
|
|
|
|
3 |
56 |
7 |
112 |
|
|
|
|
4 |
59 |
8 |
115 |
|
|
|
|
5 |
51 |
9 |
120 |
|
|
|
|
6 |
58 |
10 |
135 |
|
|
|
|
7 |
60 |
8 |
140 |
|
|
|
|
8 |
50 |
9 |
120 |
|
|
|
|
9 |
45 |
15 |
110 |
|
|
|
|
10 |
65 |
8 |
130 |
|
|
|
|
11 |
70 |
11 |
150 |
|
|
|
|
12 |
52 |
12 |
170 |
|
|
|
Для побудови економетричної моделі, |
що харак- |
|
|
Завдання |
||
|
3 |
|||
|
|
|
теризує залежність між споживанням |
продукту, |
|
|
|
24
доходом на душу населення та ціною, необхідно перевірити гіпотезу про наявність гетероскедастичності для вихідних даних, які наведено в табл. 20, 21.
Таблиця 20
Номер спостереження |
Споживання продукту на душу населення, т |
Ціни за одиницю продукції, тис. грн. |
Дохід на душу населення, грн. |
1 |
75 |
5 |
100 |
|
|
|
|
2 |
67 |
6 |
110 |
|
|
|
|
|
Закінчення табл. 20 |
||
Номер спостереження |
Споживання продукту на душу населення, т |
Ціни за одиницю продукції, тис. грн. |
Дохід на душу населення, грн. |
|
|
|
|
3 |
56 |
7 |
112 |
|
|
|
|
4 |
59 |
8 |
115 |
|
|
|
|
5 |
51 |
9 |
120 |
|
|
|
|
6 |
58 |
10 |
135 |
|
|
|
|
7 |
60 |
7 |
120 |
|
|
|
|
8 |
65 |
8 |
130 |
|
|
|
|
9 |
45 |
9 |
110 |
|
|
|
|
10 |
40 |
10 |
100 |
|
|
|
|
11 |
50 |
15 |
130 |
|
|
|
|
12 |
65 |
14 |
140 |
|
|
|
|
13 |
80 |
7 |
150 |
|
|
|
|
14 |
82 |
5 |
170 |
|
|
|
|
Таблиця 21
Номер спостереження |
Споживання продукту на душу населення, т |
Ціни за одиницю продукції, тис. грн. |
Дохід на душу населення, грн |
1 |
55 |
5 |
160 |
|
|
|
|
2 |
87 |
6 |
170 |
|
|
|
|
|
Закінчення табл. 21 |
||
Номер спостереження |
Споживання продукту на душу населення, т |
Ціни за одиницю продукції, тис. грн. |
Дохід на душу населення, грн |
|
|
|
|
3 |
56 |
7 |
112 |
|
|
|
|
4 |
59 |
8 |
115 |
|
|
|
|
5 |
51 |
9 |
120 |
|
|
|
|
6 |
58 |
10 |
135 |
|
|
|
|
7 |
60 |
11 |
145 |
|
|
|
|
8 |
65 |
5 |
100 |
|
|
|
|
9 |
70 |
6 |
110 |
|
|
|
|
10 |
50 |
4 |
120 |
|
|
|
|
11 |
55 |
5 |
130 |
|
|
|
|
12 |
62 |
7 |
150 |
|
|
|
|
13 |
53 |
8 |
140 |
|
|
|
|
14 |
50 |
9 |
120 |
|
|
|
|
25
15 |
58 |
10 |
100 |
|
15 |
55 |
10 |
130 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На підставі даних, які наведено в табл. 2—21, ви- |
|
|
Завдання |
|
|
4 |
||
|
|
|
конати такі завдання. |
|
|
|
|
|
|
|
1.Оцінити параметри моделі за методом 1МНК і методом Ейткена.
бки2..Визначити матриці коваріацій оцінок та їх стандартні похи-
3.Перевірити статистичну значущість зв’язку, що описується моделями, оцінки параметрів яких обчислено за методом 1МНК і методом Ейткена.
4.Дати порівняльний аналіз оцінок параметрів, здобутих різ- |
|||||||
ними методами. Зробити висновки. |
|
|
|
||||
Завдання для контролю знань |
|||||||
1.Якщо M uu 2 S , де |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
... 0 |
|
|
||
|
0 |
2 |
0 |
... 0 |
|
|
|
|
0 |
|
3 |
... 0 |
|
, |
|
S |
0 |
|
|||||
... ... ... |
... ... |
|
|||||
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
... n |
|
|||||
то з яким порушенням умови |
|
M uu 2 E ми маємо справу? |
|||||
Що означають параметри і? |
|
|
|
|
|
|
|
2. Нехай M u u u2 S . Як у цьому співвідношенні визначаються u2 і S? Про яке явище в такому разі може йтися?
3. За одним з алгоритмів обчислюється критерій R* S2 , де
S2 u2u2 , S1 u1u1 .
S1
Що це за алгоритм? Коли він застосовується? Серед відповідей знайдіть правильну і запишіть алгоритм повністю для визначення:
а) автокореляції;
26
б) гетероскедастичності; в) мультиколінеарності; г) гомоскедастичності.
4. Який метод пов’язаний із цими співвідношеннями?
n2 k Sr 2
1) r 1
r 1
2)2 ln .
: rk1 Sr n ;n 2
5. Якщо в умові M uu u2 S , S — симетрична, діагональна
та додатно визначена матриця, то як треба записати матриці Р і Р– 1, коли P P S ?
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Якщо умова M uu u |
X j |
, де {Xj} = {15 18 20 22 25 28 30 35}, |
||||||||||||||||||||||
то як обчислити матрицю S – 1? |
|
|
відомі залишки u Y XA . |
|||||||||||||||||||||
7. Нехай для моделі |
Y XA u |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
u = (3 –2 –1 –0,5 0,3 0,2 4 –2 –1 –0,7). |
|||||||||||||||||||
Визначити |
незміщену |
оцінку |
дисперсії |
|
залишків, якщо |
|||||||||||||||||||
n m 16 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8. Якщо матриця |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 ... 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
0 ... 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
3 |
... 0 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... ... ... ... ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ... n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
то i |
можна визначити так: |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||
1) |
|
1 |
a |
0 |
a x |
ij |
2 ; |
|
|
|
|
|
2) |
i |
|
|
; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
xij |
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
||||||
3) |
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
i |
|
|
|
u |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
xij2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Коли застосовується ця матриця? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
9. Як оцінити параметри в кожному випадку? |
27
M uu u2 X 0 ; |
M uu u2 E; |
M uu u2 S; |
||||
M uu u2 X 2 ; |
M uu V ; |
M uu u2 |
|
u |
|
f X 2. |
|
|
10. Серед наведених співвідношень знайдіть оператор оціню- |
|||||||||||||||||||||
вання за методом Ейткена. Коли застосовується цей оператор? |
|||||||||||||||||||||
Запишіть матрицю S–1 у цьому операторі. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1) |
A X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
A X |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
X X Y ; |
|
|
|
|
|
|
X |
X Y ; |
|
|
||||||||||
3) |
A X X 1 X S 1Y ; |
|
4) |
|
|
|
1 |
X S 1Y ; |
|||||||||||||
|
A X S 1 X |
||||||||||||||||||||
5) |
|
|
|
|
1 |
S 1 X |
S 1Y ; |
6) |
A XX X 1 X S 1Y ; |
||||||||||||
A S 1 X X |
|
||||||||||||||||||||
7) |
|
|
|
|
1 |
X V |
1Y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A X V 1 X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
11. |
Знайдіть серед наведених формул незміщену оцінку дис- |
||||||||||||||||||||
персії вектора А за методом Ейткена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Як обчислити стандартні помилки? |
€ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1) |
€ |
|
2 |
X |
|
|
1 |
; |
|
|
2) |
|
|
|
|
1 |
; |
|
|||
var A |
|
X |
|
|
|
var A |
XX X |
|
|||||||||||||
3) |
var A |
|
|
X |
S |
|
|
|
1 |
; |
4) |
var A |
X S |
|
1 |
. |
|||||
2 |
1 |
X |
1 |
X |
|
||||||||||||||||
|
€ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
€ |
|
|
|
|
|
|
28
Як знайти незміщену оцінку для дисперсії залишків? Чому дорівнює зміщення дисперсії оцінок параметрів і дисперсії залишків у моделях з гетероскедастичністю, коли оцінювати параметри за 1 МНК?
ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ 4
НЕПРЯМИЙ МЕТОД ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ ЕКОНОМЕТРИЧНОЇ МОДЕЛІ
Основні теоретичні положення
Наявність прямих та зворотних зв’язків між економічними показниками нерідко зумовлює потребу застосовувати систему одночасних рівнянь, що містить, як правило, лінійні рівняння. Нелінійність зв’язків апроксимується лінійними співвідношеннями. Динаміка економічних зв’язків ураховується за допомогою часових лагів або лагових змінних.
Система одночасних структурних рівнянь у матричному вигляді подається так:
Y A Y B X u .
Розв’язавши кожне рівняння системи відносно Y , дістанемо зведену форму моделі:
Y R X v ,
де залишки v є лінійною комбінацією залишків u .
Зв’язок між коефіцієнтами структурної і зведеної форм моделі |
||||||
визначиться залежностями: |
|
|
|
|
|
|
|
€ |
|
|
€ 1 |
€ |
, |
|
R |
E A |
B |
|||
або |
€ |
|
€ 1 € |
|
|
|
R |
A |
B , |
|
|
||
або |
€ |
€ |
€ |
0 . |
|
|
AR |
B |
|
|
Якщо економетрична модель будується на основі системи одночасних структурних рівнянь, то порушується, як правило, третя умова щодо застосування 1 МНК. Згідно з цією умовою матриця пояснюючих зміннихтавекторзалишківмають бутинезалежними.
Оцінка параметрів моделі методом 1МНК даватиме таке їх зміщення:
1 a1 2 2 / mzz , 1 / mzz
72
де mzz — момент другого порядку залежної змінної, що прямує
до деякої константи, коли n .
Оцінка параметрів моделі на базі одночасних структурних рівнянь пов’язана з проблемою ідентифікації.
Необхідна умова ідентифікації системи — виконання нерівності для кожного рівняння:
ks 1 m ms ,
де ks — кількість ендогенних змінних, які входять в s-те рівнян-
ня структурної форми;
m — загальна кількість екзогенних змінних моделі;
ms — кількість екзогенних змінних, які не входять в s-те рів-
няння структурної форми моделі.
Коли записане щойно співвідношення виконується як рівність, то відповідне рівняння є строго ідентифікованим, а коли — як нерівність, то рівняння є надідентифікованим.
Для оцінювання параметрів строго ідентифікованих рівнянь моделі можна застосувати непрямий метод найменших квадратів (НМНК). Алгоритм цього методу складається з чотирьох кроків.
Крок1. Перевіряється умова ідентифікованості для кожного рівняння. Якщо кожне рівняння строго ідентифіковане, то переходимо до кроку 2.
Крок2. Перехід від структурної форми моделі до зведеної.
Крок3. Оцінка параметрів кожного рівняння зведеної форми моделі 1МНК.
Крок4. Розрахунок оцінок параметрів рівнянь структурної форми згідно зі співвідношенням
€ € |
€ |
AR |
B . |
Економетрична модель на основі системи рівнянь: побудова й аналіз
Приклад 1. Нехай задано економетричну модель на базі системи одночасних структурних рівнянь:
Y1t a12 X 2t u1t ;
73
Y2t b21Y1t a21 X1t u2t ;
Y3t b31Y1t a32 X 2t u3t ,
де Y1t , Y2t , Y3t — ендогенні змінні; X1t , X 2t — екзогенні змінні;
u1t , u2t , u3t — некорельовані залишки з нульовими середніми.
Визначіть ідентифікованість кожного рівняння за умови, що M u1t , u3t 0 . Зазначте, які методи доцільно застосовувати для
оцінювання параметрів кожного рівняння.
Розв’язання |
|
|
Для першого рівняння: |
|
|
ks 1 ; |
ms 1 ; |
m 2 . |
Звідси ks 1 m ms 1 1 2 1 0 1 , тобто рівняння системи є надідентифікованим.
Для другого рівняння:
ks 2 ; ms 1 ; m 2 .
Звідси ks 1 m ms 2 1 2 1 1 1 , тобто друге рівняння системи є строго ідентифікованим.
Для третього рівняння:
ks 2 ; ms 1 ; m 2 .
Звідси ks 1 m ms 2 1 2 1 1 1 , тобто це рівняння системи є також строго ідентифікованим.
Зважаючи на те, що перше рівняння моделі є надідентифікованим, для оцінювання його параметрів слід скористатися методом 2МНК.
Друге та третє рівняння моделі є строго ідентифікованими, тому для оцінювання параметрів цих рівнянь можна застосовувати як метод 2МНК, так і НМНК. Обидва методи дають однакові оцінки параметрів моделі.
Приклад2. Згідно з даними, які наведено у табл.1, побудувати економетричну модель попиту й пропозиції. Проаналізувати побудовану модель.
74
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер спосте- |
Споживання |
Ціна продук- |
|
Дохід на душу |
|
Витрати на вироб- |
|||
|
|
ництво одиниці |
|||||||
реження |
продукту Y1, |
ту Y2, гр. од. |
|
населення Х1, |
|
продукції Х2, гр. |
|||
гр. од. |
|
гр. од. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
од. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
43 |
0,35 |
|
|
9 |
|
0,10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
48 |
0,40 |
|
|
11 |
|
0,15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
50 |
0,41 |
|
|
12 |
|
0,16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
52 |
0,39 |
|
|
14 |
|
0,12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
49 |
0,52 |
|
|
10 |
|
0,18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
55 |
0,38 |
|
|
15 |
|
0,12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
53 |
0,56 |
|
|
17 |
|
0,20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
58 |
0,40 |
|
|
20 |
|
0,16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Розв’язання |
|
|
|
|
|
|
|||
1.Ідентифікуємо змінні моделі: |
|
|
|
|
|
||||
Y1 |
— споживання продукту (ендогенна змінна); |
|
|||||||
Y2 |
— ціна за одиницю продукції (ендогенна зміна); |
||||||||
X1 |
— дохід на душу населення (екзогенна змінна); |
||||||||
X |
2 |
— витрати на виробництво одиниці продукції (екзогенна |
|||||||
змінна). |
|
|
|
|
; |
|
|||
Функція попиту: Yq f Y2 , X1, |
u1 |
|
|||||||
функція пропозиції: Ys f Y2 , |
X 2 , |
u2 ; |
|
умова ринкової рівноваги: Yq Ys Y1 .
2.Специфікуємо модель на базі системи одночасних структурних рівнянь:
Yq a01 a11Y2 b11 X1 u1 ;
Ys a02 a21Y2 b21 X 2 u2 ;
Yq Ys Y1 .
Цю систему одночасних структурних рівнянь можна подати у вигляді:
Y1 a01 a11Y2 b11 X1 u1 ;
Y2 a02 a21Y2 b21 X 2 u2 .
75