cgiirbis_64 (7)

тобто замість матриці Х застосовується Т1Х або Т2Х, замість вектора Y — T1Y або T2X.

1 2 Y1;

Y2 Y1;

Y3 Y2 ;

Y4 Y3;

.................

Yn Yn 1.

3.Метод Кочрена—Оркатта

Цей метод є ітеративним методом наближеного пошуку оці-

то сума квадратів залишків подається так:

Алгоритм

Крок 1.Довільно вибираємо значення 1 r1 і підстав-

ляємо у формулу для суми квадратів залишків.

Крок 2. За методом 1 МНК знаходимо оцінки параметрів

a€01 і a€11 .

Крок3.Узявши a€0 a€01 і a€1 a€11 , підставимо ці значення у формулу суми квадратів залишків і обчислимо ρ = r2.

133

Крок 4.Підставивши ρ = r2 , обчислимо параметри a€02 і a€02

і т. д.

Процедура триває доти, доки послідовні значення оцінок параметрів не відрізнятимуться менше ніж на задану величину.

4.Метод Дарбіна

Цей метод базується на простій двокроковій процедурі.

Крок 1. Підставляємо значення залишків, яке задовольняє авторегресійну модель першого порядку

ut ut 1 t ,

в економетричну модель

Yt a0 a1 X t ut .

Тоді

Yt a0 a1 X t ut 1 t ,

де ut 1 Yt 1 a0 a1 Xt 1.

Звідси

Yt a0 1 Yt 1 a1Xt a1 Xt 1 t .

У даному разі t має скалярну матрицю дисперсій:

M t t 2t E.

За методом 1МНК обчислюємо оцінки параметрів €, a€0 , a€1.

Крок 2.Застосовуємо оцінку параметра € для перетворення

змінних Yt € Yt 1 і X t € X t 1 , а метод 1 МНК — для перетворених даних.

Прогноз згідно з економетричною моделлю, що має автокорельовані залишки, подається так:

Y€n 1 X n 1 A n .

Побудова економетричної моделі з автокорельованими залишками

134

якщо залишки, здобуті за 1 МНК, є автокорельованими. Виконати наведені далі завдання.

1.Дослідити залишки на наявність автокореляції.

2.Оцінити параметри моделі методом Ейткена та методом перетворення вихідної інформації.

3.Дослідити статистичну значущість моделі та оцінок її параметрів.

4.Визначити прогнозний рівень продуктивності праці.

5.Зробити порівняльний аналіз кількісних характеристик взаємозв’язку, здобутих методом 1 МНК і методом Ейткена.

Розв’язування

1.Дослідимо залишки, здобуті згідно з 1 МНК, на наявність автокореляції, обчисливши:

1)критерій Дарбіна—Уотсона;

2)критерій фон Неймана;

3)циклічний коефіцієнт кореляції.

1)Знайдемо оцінку критерію Дарбіна—Уотсона:

Порівняємо значення критерію DW з табличними при α = 0,05

і n = 17. Критичні значення критерію DW у цьому разі такі: DW1 = 0,48 — нижня межа;

DW2 = 1,85 — верхня межа.

Оскільки DW факт > DW 2, то при α = 0,05 можна стверджувати що залишки ut не є автокорельованими.

Наявність чи відсутність автокореляції залишків можна також визначити за критерієм фон Неймана.

льки Qфакт Qтабл , то автокореляція відсутня. 3)Визначимо циклічний коефіцієнт автокореляції:

135

Якщо значення цього коефіцієнта скоригувати на можливе зміщення, то циклічний коефіцієнт кореляції буде:

rскoр r mn 0,0625 175 0,367 .

2.Скориставшись методом Ейткена, оцінимо параметри економетричної моделі з автокорельованими залишками. Оператор оцінюваннязапишетьсятак:

де S 1 — матриця, обернена до матриці S;

V 1 — матриця, обернена до матриці V. 1) Формування матриці S 1 .

Запишемо матрицю S 1 для вихідних даних:

136

0,474178 0,474178 0,474178 0,474178 0,474178 0,474178 0,474178

33,81339 23,26876 38,22771 33,32347 35,49789 35,56338 34,8115

3,948779 3,847394 4,733407 1,790607 2,289155 2,146901 2,385564

1,571338 1,747911 1,795329 1,877066 1,244388 2,060188 2,032418

5,559158 4,537441 4,978873 4,602932 8,207754 2,698349 6,098828

137

138

Економетричну модель продуктивності праці подамо у вигляді:

3)Дослідимо статистичну значущість моделі та оцінок її параметрів.

1)коефіцієнт детермінації;

2)коефіцієнт кореляції;

3)F-критерій;

4)t-критерій.

Коефіцієнт детермінації R2 = 0,858. Він показує, що варіація продуктивності праці на 85,8% визначається досліджуваними чинниками.

139

Коефіцієнт кореляції R = 0,926. На підставі цього коефіцієнта можна стверджувати, що зв’язок між продуктивністю праці та досліджуваними чинниками — фондомісткістю, коефіцієнтом плинності, рівнем втрат робочого часу і стажем — тісний.

Критерій Фішера F = 18,16. Табличне його значення за рівня значущості α= 0,05, коли є m–1=4, n–m=12 ступенів свободи, дорівнює 5,78. Оскільки Fфакт>Fтабл, то гіпотеза про статистичну значущість зв’язку на основі економетричної моделі (3) підтверджується.

Перевіримо достовірність кожної оцінки параметрів моделі, зокрема на основі t-критеріїв. Вони дорівнюють:

ta€4 0,100 .

Табличне значення t-критерію для рівня значущості α=0,05 та ступеня свободи n–m=12 дорівнює 1,782. Оскільки ta€0 , ta€1 і ta€2

перевищують ці значення, то відповідні параметри моделі є достовірними, а ta€3 і ta€4 менші за критичне значення. Звідси ta€3 і

ta€4 — недостовірні. Таким чином, достовірність моделі в цілому досягається за рахунок трьох перших параметрів.

4)Подамо точковий та інтервальний прогнози продуктивності праці згідно з економетричною моделлю (3).

Запишемо співвідношення, яке визначатиме прогнозний рівень продуктивності праці:

€ ,

Yпр X прA un

де X пр — вектор очікуваних значень досліджуваних чинників (пояснюючих змінних); — коефіцієнт коваріації залишків;

140

Підставивши послідовно компоненти кожного з векторів в економетричну модель

y50,869 0,404x1 1,672x2 2,479x3 0,048x4

ідодавши un , дістанемо прогнозні значення продуктивності праці:

Для визначення інтервального прогнозу продуктивності праці обчислимо спочатку стандартні похибки прогнозу для кожного періоду за формулою

а потім — граничні:

Додавши до точкового прогнозу продуктивності праці граничну похибку та віднявши її, дістанемо максимальний і мінімальний рівень її для кожного з періодів прогнозування:

Отже, як показують наведені дані, розмах варіації для кожного з періодів перебуває в межах 10 одиниць. Гранична похибка до прогнозного рівня продуктивності праці становить менш як 10%, а це свідчить про доволі високу якість прогнозування згідно з економетричною моделлю.

141

5)Виконаємо порівняльний аналіз характеристик взаємозв’язку, здобутих методом Ейткена.

Порівнюючи оцінки параметрів моделі, здобутих за допомогою 1МНК і методом Ейткена, доходимо висновку, що загальна тенденція впливу чинників на продуктивність праці не змінилася, але рівень оцінок став дещо іншим. Ці зміни є незначними. Деякі параметри збільшилися, деякі — зменшилися. Такі зміни зумовлені сутністю методу Ейткена, який уточнює параметри моделі за наявності навіть незначних взаємозв’язків залишків.

Як бачимо з наведених даних, усі характеристики дисперсійного аналізу за методом Ейткена дещо нижчі, ніж за методом 1МНК, оскільки метод Ейткена уточнює дисперсію залишків та дисперсії оцінок параметрів моделі, які в разі застосування 1МНК завжди будуть нижчими від істинних, коли в моделі залишки автокорельовані.

142