3.5.6. Распределения, связанные с нормальным

С нормальным распределением мы сталкивались и знакомились на протяжении почти всего предшествующего материала второй части настоящего пособия. Фундаментальная роль нормального распределения определяется содержанием центральной предельной теоремы, простейший вариант которой (следствие из теоремы Линдеберга [1]) звучит так.

Если независимые случайные величины одинаково распределены и имеют конечные отличные от нуля дисперсии, то приравномерно по

,

где . Из этого становится ясно, почему распределение суммы независимых СВ, подчиняющихся распределению Коши, не имеющему моментов, не стремится к нормальному закону.

Как и распределение Коши, нормальное распределение является устойчивым: распределение суммы независимых нормальных СВ будет нормальным с математическим ожиданием и дисперсией, равными сумме математических ожиданий и дисперсий слагаемых соответственно. Далее мы убедимся в том, что СВ будет гауссовской и для зависимых слагаемых.

Для знакомства с распределениями, связанными с нормальным, нам потребуется информация о двумерном нормальном законе и распределении двумерного нормального случайного вектора .

В соответствии с общей формой записи многомерного нормального распределения .

Элементы квадратичной формы определяются обратной корреляционной матрицей, где– симметричная и положительно определенная. Дисперсия нормальной СВ обычно обозначается как, поэтому корреляционная матрица имеет вид

,

где  коэффициент корреляции, а

.

Константа определяется из условия нормировки и равна=. Окончательное выражение для двумерного нормального распределения имеет вид

,

где =и=– математические ожидания СВ и , и– ихдисперсии, а – коэффициент корреляции.

Найдем ПВ суммы двух нормальных СВ . В соответствии с полученными выше результатами

.

Выполнив элементарные преобразования и интегрирование по u, получим окончательно:

,

где – математическое ожидание суммы СВ₁ и ₂ , а – её (суммы) дисперсия. Таким образом, в общем случае, распределение суммы двух нормальных СВ есть нормальная СВ. Этот результат справедлив и для произвольного числа слагаемых.

Мы уже отмечали, что зная многомерную ПВ , можно найти ПВ подмножества СВпроинтегрировавпо «лишним» переменным. Для двумерного случая это даст

Воспользовавшись этой формулой в нашем случае, после несложных преобразований, которые читателю предлагается сделать самостоятельно, получим

Таким образом, если случайные величины являются совместно нормальными, то каждая из них будет также нормальной. Обратное утверждение в общем случае несправедливо. Гауссовы СВ могут образовывать негауссову совокупность [3].

Пользуясь полученными результатами, легко найти условную ПВ нормальной СВ (это выражение обычно рассматривают как определение условной ПВ). Подставляя в эту формулу выражение дляи

,

после несложных преобразований получим

.

Таким образом, условная гауссовская ПВ также является гауссовской с условным математическим ожиданием и условной дисперсией. Из приведенных выражений видно, что для гауссовских СВ кривая регрессиинаесть прямая. Приусловная ПВ стремится к, что совершенно естественно, так как приСВисвязаны линейной зависимостью. При условная ПВ переходит в безусловную

,

что свидетельствует о независимости СВи. Это свойство сохраняется и для многомерных нормальных СВ, т.е. если нормальные СВ некоррелированы, то они и независимы. На рис. 3.6 приведено семейство условных ПВдля различных значений коэффициента корреляциии== 0, == 1, = 3.

Рассмотрим область на плоскости ,, для которой, где, а– максимальное значение двумерного нормального распределения,

Границей этой области будет эллипс, приведенный на рис. 3.7 и задаваемый уравнением

где .

Центр этого эллипса расположен в точке , а полуоси наклонены по отношению к координатным осям,на уголприипри. Прииэллипс переходит в окружность.

Если перейти от СВик СВ,с помощью линейного преобразования

,

что соответствует применению оператора поворота на угол  к случайному вектору и переносу начала координат в точку, то СВи, оставаясь нормальными, будут некоррелированы, а следовательно, и независимы.

Таким образом, с помощью линейного преобразования коррелированные нормальные СВ могут быть преобразованы в некоррелированные СВ.

Перейдем теперь непосредственно к распределениям, связанным с нормальным.

-распределение. К -распределению можно придти, рассматриваяследующую задачу. Пусть независимые СВ, имеющие стандартное нормальное распределение (среднее значение равно нулю, а дисперсия – единице). Тогда СВимеет-распределение сn степенями свободы

В общем случае параметр n может быть любым положительным числом .

Таким образом, как это уже отмечалось, -распределение является частным случаем гамма‑распределения, рассмотренного ранее.‑распре-деление является одним из трех важнейших распределений выборочных статистик (‑распределение, распределение Стьюдента иF‑распределение). Прежде чем обсуждать эту проблему, напомним определение выборочной статистики.

Если – результаты наблюдений (измерений), полученных в ходе выполненияn независимых повторений случайного эксперимента, связанного со случайной величиной , имеющей ПВ , которая полностью или частично неизвестна, то векторназывается выборкой объемаn из генеральной совокупности с распределением . Можно дать и более короткое определение [4].

Выборкой называют последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин.

Выборочными статистиками или выборочными характеристиками называют функции от выборки (выборочных значений ).

Примерами статистик могут быть выборочные моменты порядка k. Начальные и центральные. Для выборочных моментовив литературе обычно используют специальные обозначенияи. Отметим, что будучи функцией СВ выборочная статистика является случайной величиной.

Важной задачей статистики является сравнение эмпирического (полученного на основе выборки) и теоретического (или гипотетического) распределений.

Напомним, как строится эмпирическое распределение.

Весь диапазон возможных значений наблюдаемой СВ делится на классы (области), т. е. указывается последовательность примыкающих друг к другу полуинтервалов , причем крайние интервалыиявляются полубесконечными. Обычно конечные интервалы , их в статистике называют карманами, выбирают одинаковыми. Затем подсчитывают– число элементов выборки, попавших в полуинтервали теоретическую вероятностьпопадания результатов измерения в этот интервал

,

где – разбиение интервала, о котором шла речь выше.

После этого вычисляется статистика

,

называемая статистикой Пирсона, который доказал, что при записанная статистика имеет распределениесстепенью свободы и, что очень важно, не зависит от вида теоретического распределения. Пользуясь таблицами или соответствующими программными пакетами, можно проверить гипотезу о соответствии эмпирического и теоретического распределений [4].

Очевидно, что есть евклидово расстояниемежду вектором, компонентами которого являются эмпирические частотыпопадания наблюдаемых величин ви вектором, компоненты которого – теоретические вероятностипопадания наблюдений в.

Компонентами весового вектора являются величины обратные вероятностям. При практическом использовании критерия согласия χ² Пирсона для простой гипотезы – так называется рассмотренная задача, надо добиваться за счет n и выбора числа карманов m, чтобы для всехвыполнялось бы условие.

Распределение Стьюдента (t-распределение). Рассмотрим СВ , где и  – независимые СВ, причем  имеет стандартное нормальное распределение , а – ‑распределение сn степенями свободы. Тогда ПВ случайной величины  имеет вид

,

и называется распределением Стьюдента с n степенями свободы. При n = 1 распределение Стьюдента переходит в уже знакомое нам распределение Коши. Распределение Стьюдента распространяется и на случай нецелых значений n =  > 0.

Моменты распределения Стьюдента равны ипри. Вспомним, что распределение Коши моментов не имеет.

Распределение Стьюдента используется для решения вопроса: значимо ли отличие выборочного среднего от математического ожиданиягенеральной совокупности, из которой предположительно взята выборка или наблюдаемое различие является случайным?

F-распределение (распределение Фишера–Снедекора). Если и– независимые СВ, имеющие‑распределение соответственно систепенями свободы, то случайная величинаимеетF-распре-деление с степенями свободы, ПВ которого имеет вид

Математическое ожидание , а дисперсия

.

Распределение Фишера используется при проверке гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных выборок объемом и.

Логарифмически нормальное (логнормальное) распределение. Случайная величина  имеет логарифмически нормальное распределение с параметрами если её ПВ имеет вид

Логнормальное распределение получается как ПВ случайной величины , где – нормальная СВ с математическим ожиданием а и диспер-сией . Решая задачу о функциональном преобразовании СВ с учетом того чтои, получим для логнормальное распределение. Условие присвязано с положительностью функциидля всех. Моменты логнормального распределения равны , откуда можно найти среднее значение, дисперсию, асимметриюи коэффициент

эксцесса . Заметим, что СВ и её моменты являются безразмерными величинами .

Логнормальное распределение дает частный случай решения следующей задачи. Пусть , где – нормальная СВ с математическим ожиданием а и дисперсией , а– монотонная дифференцируемая функция. Решая задачу функционального преобразования СВ, получим

,

где (х) – функция обратная f(x) (результат решения уравнения относительно). Это распределение называется распределением Кептейна.

Распределение РелеяРайса. Рассмотрим задачу о распределении модуля и аргумента нормального случайного вектора , ПВ которого имеет вид

,

т. е. компоненты вектора инезависимы, имеют одинаковую дисперсиюи математическое ожиданиеисоответственно.

Модуль вектора , а для аргумента справедливо выражение. Решая задачу перехода от СВик и  с учетом полученных выше результатов , получим

или после несложных преобразований

,

где – модуль вектора, компонентами которого являются математические ожидания СВи,– аргумент этого вектора. Для определения ПВ необходимо проинтегрировать по всем значениям, т. е.

.

Так как подынтегральное выражение зависит только от и интегрирование ведется по периоду, то интеграл не зависит от и с учетом интегрального представления модифицированной функции Бесселя нулевого порядка , получим окончательно

Это и есть распределение Рэлея–Райса. При == 0 и, следовательно,А = 0, и распределение Рэлея–Райса переходит в распределение Релея

Функция распределения

после замены переменной и введения параметравыражается через табулированнуюQ-функцию Маркума следующим образом.

Плотность вероятности Рэлея–Райса при переходе к безразмерной переменной примет вид

Подумайте, куда делся множитель ?

При , воспользовавшись асимптотическим представлением модифицированной функции Бесселя

, ,

после несложных преобразований, получим

Таким образом, при распределение Релея–Райса с точностью до поправочного множителя, который примало отличается от единицы в той области, где располагается кривая нормального распределения, может быть аппроксимировано указанным выше нормальным распределением. При возвращении к переменной гауссовское распределение будет иметь среднее значение А и дисперсию . В качестве упражнения предлагаем читателю убедиться в том, что множительдействительно мало отличается от единицы в области основных значений функции¹.

Моменты распределения Рэлея–Райса выражаются через вырожденную гипергеометрическую функцию

Четные моменты , с учетом свойств вырожденной гипергеометрической функции (см. ч. I, гл. 6) являются полиномами оти имеют вид,,, … . Для нечетныхk вырожденная гипергеометрическая функция может быть представлена с помощью экспоненциальных и модифицированных бесселевых функций, и мы получим

.

При как уже отмечалось, распределение Рэлея–Райса переходит в распределение Рэлея, а приведенные формулы определяют соответствующие моменты: ,,,, и т. д.

Пользуясь связью между центральными и начальными моментами, можно определить дисперсию

для распределения Рэлея–Райса и для распределения Рэлея.

В качестве упражнения предлагаем исследовать зависимость асимметрии и коэффициента эксцесса распределения Рэлея–Райса от параметра h.

В теории надежности для описания времени безотказной работы используется распределение Вейбулла–Гнеденко, ПВ которого имеет вид

Моменты равны. С их помощью можно найти дисперсию

.

Для описания модели замираний сигнала в канале часто используют распределение Накагами (m – распределение) с ПВ

Моменты распределения Накагами , а дис-персия

Заканчивая разговор об одномерных ПВ, отметим, что большинство из рассмотренных распределений является частным случаем распределения Пирсона, ПВ которого удовлетворяет дифференциальному уравнению вида

,

где – параметры распределения.

В зависимости от значений этих параметров в качестве решения уравнения получаются 11 типов кривых, описывающих важнейшие ПВ (нормальное распределение, гамма-, бета-, -распределения, распределение Стьюдента и др.) Более подробно с распределениями пирсоновского типа можно познакомиться с помощью [5].