3.4. Кумулянты

Еще одним видом числовых характеристик СВ являются кумулянты, или семиинварианты. В ряде случаев их использование оказывается более эффективным, чем описание СВ с помощью моментов. Прежде чем дать определение кумулянтам, остановимся на свойствах введенной выше ХФ

.

Прежде всего отметим, что =1. ХФнепрерывна для всех, для нее выполняются следующие условия:;и, где– знак комплексного сопряжения. Производная-го порядка характеристической функции в нуле===позволяет

определить -й начальный момент СВ. Таким образом, характеристическая функция может быть представлена рядом Маклорена

==,

где =  = 1. Логарифм ХФ =называется кумулянтной функцией. Разлагая кумулянтную функцию в ряд Маклорена, получим

= ,

где  кумулянты или семиинварианты распределения . Кумулянтывыражаются через моменты СВ:

= ,=,=,=,=, … .

Для дальнейшего нам потребуется завершить знакомство с нормальной СВ, рассмотренной в первом приближении в прим. 4 гл. 1. Как было указано ранее, ПВ нормальной СВ имеет вид.

Характеристическая функция, в соответствии со свойствами преобразования Фурье, будет равна

=.

Математическое ожидание нормальной СВ вычисляется как. Выполняя замену переменной, получим

+.

Первый интеграл равен нулю, как интеграл от нечетной функции в симметричных пределах, а второй – единице по условию нормировки (под знаком интеграла стоит ПВ стандартной нормальной СВ , имеющей нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию).

Таким образом, параметр имеет смысл математического ожидания нормальной СВ,=.

Центральные моменты нормальной СВ равны

=,

или после замены переменной имеем=.

Учитывая четность при и нечетность при,= 0, 1, 2, … подынтегрального выражения, получим окончательно

и =,=1, 2, … .

Напомним, что всегда равняется нулю.

Полагая = 1, получим=, т. е. параметресть дисперсия нормальной СВ.

Асимметрия нормального распределения и коэффициент эксцесса– 3=равны нулю.

Кумулянты нормального распределения начиная стакже равны нулю;=и=, поэтому кумулянты, точнее кумулянтные коэффициенты=, характеризуют степень отличия рассматриваемого распределения от гауссовского.

Это находит свое отражение в возможности представления произвольной ПВ с помощью ряда Эджворта

= ,

где =– гауссовское распределение, имеющее=и=, а коэффициенты, называемые квазимоментами, выражаются через кумулянты распределенияследующим образом:

= ,=,=,=, … .

Квазимоменты отличны от нуля только для негауссовских СВ.

Кумулянты могут быть определены и для многомерных СВ. Чтобы избежать громоздких записей, рассмотрим случай двух СВ и, являющихся компонентами или координатами случайного вектора. Для двумерного распределениясмешанные начальные и центральные моменты имеют вид

=,

=.

Характеристическая функция двумерной СВ

может быть разложена в двойной степенной ряд вида

.

Разложение в степенной ряд

определяет совместные кумулянты двумерного распределения. Как и для моментов, суммаопределяет порядок кумулянта. Совместные кумулянты выражаются через моменты следующим образом:

,

где для удобства записи под ипонимаются-е начальные моменты одномерных распределенийи, т. е.

===.

Аналогичная запись справедлива и для . Из приведенной записи видно, чтосовпадает с ковариацией СВи, так как

= = ==.

Две СВ являются статистически зависимыми или просто зависимыми, если хотя бы один из совместных кумулянтов ,отличен от нуля.